数学与形而上学研究论文
数学与形而上学研究论文 内容提要：哲学的冲动与经历某种“边缘形势”有关，而要使这些冲动形成 一门能传承的学问，必依靠某种游戏机制。古希腊的数学是形成西方形而上学传 统的关键机制，通过毕达哥拉斯而直接影响到巴门尼德和柏拉图，再传至亚里士 多德。本文探讨了“数是本原”的具体含义，它的成功与失败之处，以及后来的哲 学家们如何吸收与改造它。同时提及这种“数形而上学”在今天的新活力。关键词：数学，形而上学，毕达哥拉斯，数本原，结构。
按一般的讲法，形而上学（metaphysics）作为一门哲学学问（“关于存在 的科学”）出自亚里士多德的同名书；
而它的问题只能上溯到巴门尼德。所以， 专门讨论形而上学的书，或者以巴氏的“存在”开头，[1]或者就直接从亚氏的《形 而上学》谈起。[2]我的看法却是：形而上学之所以能在西方（古希腊）出现并 成为传统哲学中的显学，首先要归于西方数学的激发与维持。概念形而上学的“真 身”是在数学。所以，谈论形而上学，尤其是它的起源，绝不可只从巴门尼德开 始，而是应该上溯到毕达哥拉斯这位主张“数是万物本原”的数理哲学家。
首先让我们想一下，没有毕达哥拉斯，能够有巴门尼德和柏拉图吗？而如 果没有这两位，能有亚里士多德吗？我想回答都只能是“不能”。实际上，巴门尼 德和柏拉图都是某种特殊类型的或改进型的毕达哥拉斯主义者，这从他们的个人 经历和学说特点都可以看得很清楚。于是我们就有了下一个问题：为什么西方意 义上的数学能够激发哲学？我们分两步来回答。
首先，我们应该注意到：一个能够持续存在的并有突出的独特文化含义的 哲学传统是很难出现的，它不能从人类的自然倾向中产生。亚里士多德说哲学起 于人的好奇和闲暇，[3]而与之似乎相反的一种看法则认为：智慧之因是苦涩的。
古希腊悲剧大师埃斯库罗斯在《阿伽门农》中叹道：“智慧自苦难中得来。”[4] 犹太-基督教的《圣经・创世纪》中讲：人类的祖先正是吃了“知识之果”，才被 神逐出了无忧无虑的伊甸园，世世代代要受苦受难。释迦牟尼宣讲的“四谛（四 个最基本的真理）”的第一谛，就是让人明白人生从根子上是“苦”，由此才能走 向智慧。孟子则相信，那些膺天之大任者“必先苦其心志”。我觉得亚氏的哲学起 于“安乐与好奇说”肯定不成立，因为人类历史上有好奇心和闲暇者甚多，但因此 而做哲学思索者太少太少。“苦难起源说”虽然也有类似问题，但它蕴含着一个重 要的启发，即智慧、包括哲学智慧与人类经历的某种“边缘形势”有关，而痛苦与 绝望往往是造成现实人生中的边缘形势的最有力者。边缘形势的特点是：平日正常状态中现成可用的方法与手段统统失效，人被逼得要么想出新办法对付这危机 局面，要么就被它压倒。然而，“边缘”意味着“不稳定”、“不正常”和“难于重复”， 所以只靠边缘形势激发出的流星野火般的智慧几乎不可能形成一个持久的传统。
要将“野狐禅”（人在边缘形势中的自发思索）变为一门能承传下去的学问，必须 发明某种巧妙的方法或结构，使“边缘”与“正常态”奇迹般地结合起来，以使边缘 的探索能够有所依凭地、但又不被这“依凭”完全腐化收编地独立进行下去。所以， 这个结构必须是一种高妙的游戏机制，它里面的规则不只是为了控制，而更是为 了创造有自由度的游戏空间，因而能源源不断地产生和诱发出意义、趣味和思想 热情来。我们可以设想，这个机制必须满足这样的要求：（1）它必须是比较独 立的，可以只靠或基本上靠自身的机制就见出效果、分出优劣。（2）它必须是 足够“公正”或“客观”的，以使得整个局面不被某一种实体――不管它是哪种意义 上的――控制。（3）它必须是足够丰富的，以便容纳充分的变化可能、不可测 性，或者说是让天才和创新出现的奇变可能。因此，这种可变性必须是质的，容 纳新的维度出现的可能，“惊喜”与“狂热”出现的可能。
第二，古希腊的纯数学、而不是巴比伦和古埃及的实用数学，满足了这三 个要求，尤其是第三个要求。它是可自身推演的、可自身判定的和容纳无穷奇变 可能的（甚至让毕达哥拉斯学派本身尝到了“不可通约”的苦果）。而毕达哥拉斯 将它用到了解决世界与人生的边缘问题上来，使在他之前出现的探讨“本原”的传 统获得了一个清晰的、严格得有些严酷的游戏结构。没有它，概念的精准与自身 中包含绝对可判定的真理的信心不可能出现，因而形而上学也就不可能出现。
处在开创期的毕达哥拉斯，有着这个草创时期英雄的一切幼稚、天才和超 前的敏感。他比谁都更强烈地感到了“数”结构的魔力，因而要在充分展示这个结 构的多重和谐、呼应可能的同时证明它能够用来直接解释世界与人生的本质。
为了论证“数是本原”，毕达哥拉斯学派提出万物（这里可理解为表述万物 的语言的意义）与数是“相似”的，而他们用以论证这种相似的最根本理由是结构 性的，即认为数中的比率或和谐结构（比如在乐音中）证明万物必与它们相似， 以获得存在的能力。亚里士多德这样叙述这一派的观点：“他们又见到了音律[谐 音]的变化与比例可由数来计算――因此，他们想到自然间万物似乎莫不可由数 范成，数遂为自然间的第一义；
他们认为数的要素即万物的要素，而全宇宙也是 一数，并应是一个乐调。”[5]这种“以结构上的和谐为真”的看法浸透于这一派人 对数的特点和高贵性的理解之中。比如，“10”对于他们是最完满的数，因为10 是前四个正整数之和，而且这四个数构成了名为四元体（tetraktys，四面体）的神圣三角：“”[注意它的多重对称、相似与谐和]。而且，用这四个数就可以表示 三个基本和谐音（4/3，3/2，2/1）和一个双八度和谐音（4/1）。这些和音的比率 可以通过击打铁砧的锤子的重量、琴弦的长度、瓶子中水面的高度，甚至是宇宙 星球之间的距离而表现，但它们的“本质”是数的比率。[6]此外，此组成10的四个 基本数或四元体还表现为：1为点，2为线，3为面，4为体；
而且是点或1的流动 或移动产生了线，线的流动产生了平面，平面的运动产生了立体，这样就产生了 可见的世界。所以毕达哥拉斯派的最有约束力的誓言之一是这样的：“它[四元体] 蕴含了永恒流动的自然的根本和源泉”。[7]此外，四元体还意味着火、气、水、 土四个元素；
人、家庭、市镇和城邦这社会的四元素；
春夏秋冬四季；
有生命物 的四维（理性灵魂、暴躁的灵魂、贪欲的灵魂、作为灵魂寓所的躯体）；
四种认 识功能（纯思想、学识、意见、感觉）；
等等。[8] 除了通过四元体之外，对10的完美性和神圣性还可以以更多的方式或花样 来认识，比如数从10以后开始循环，还有就是认为10包含了偶数与奇数的平衡。
所以，尽管毕达哥拉斯派认为奇数（有限）比偶数（无限）更真实高贵，10却如 同1那样，占据了一个超域奇偶对立的终极地位。于是我们读到毕达哥拉斯派的 这样一段话：“首先，[10]必须是一个偶数，才能够是一个相等于多个偶数和多个 奇数之和的数，避免二者之间的不平衡。……10之数中包含着一切比例关系：相 等、大于、小于、大于一部分、等等”。[9]由此可见，数的本原性有数理本身的 结构根据。10之所以完美，之所以被视为“永恒的自然的根源”，是由于在它那里， 可以从多个角度形成某种包含对立、对称与比例的花样或“和谐”。一位著名的毕 达哥拉斯主义者菲罗劳斯这么讲：“人们必须根据存在于‘十’之中的能力研究‘数’ 的活动和本质，因为它[‘十’]是伟大的、完善的、全能的。……如果缺少了这个， 万物就将是没有规定的、模糊的和难以辨别的”。[10] 对于毕达哥拉斯学派，数字与几何形状，特别是10以内的数字和某些形状 （比如圆形、四面体、十二面体）都具有像“1”、“2”、“4”、“10”那样的语义和思 想含义，而且这些含义被表达得尽量与数、形本身的结构挂钩。例如“3”意味着“整 体”和“现实世界”，因为它可以指开端、中间和终结，又可以指长、宽、高；
此 外，三角形是几何中第一个封闭的平面图形，基本的多面体的每一面是三角形， 而这种多面体构成了水、火、土等元素，再构成了万物。所以，“世界及其中的 一切都是由数目‘三’所决定的”。[11]这似乎有些《老子》讲的“一生二，二生三， 三生万物”的味道。“5”对于毕达哥拉斯派是第一个奇数（“3”）与第一个偶数（“2”） 相加而得出的第一个数，所以，它是婚姻之数。此外，十二面体的每一面是正5 边形，把正5边形的5个顶点用直线连起来，就做出5个等腰三角形，组成一个5角星，这5角星的中腹又是一个颠倒的正5边形。而且，这种正5边形对角线（顶 点连线）与边之比等于黄金分割的比率：1.618。再者，这5角星围绕中心点5次 自转而返回原状。等等。因此，这种5边形和5角星也是有某种魔力的。[12]再比 如，7是10之内的最大素数，意味着过时不候的“机会”，由此就有“时间”、“命运” 的含义。诸如此类的对“数”的结构意义的把握及其语义赋值和哲理解释是典型的 毕达哥拉斯派的风格。
从这些讨论可以看出，在毕达哥拉斯学派、也可以说是在西方传统形而上 学的主流唯理论（rationalism）的开端这里，也有一种结构推演的精神在发挥关 键性作用。“本原”意味着推演花样的最密集丰满处，也就是在这个意义上的最可 理解处，最有理性处。所以，这里也有一个避不开的问题，即有自身推演力的符 号系统[对于毕达哥拉斯是数学符号系统]与它的语言与思想内容的关系的问题， 简言之，就是数与言的关系问题。对这个问题处理得成功与否，或在什么意义上 成功与失败，决定着毕达哥拉斯派在哲学史上的地位，实际上也决定了西方传统 哲学主流后来的发展方向。首先，应该说，就西方的整个学术思想走向，特别是 它的近现代科学走向而言，对于数学符号系统的思想和语义赋值，以及反过来， 科学思想和语言的数学化，都是相当成功的，或起码取得了重大进展，影响到整 个人类的生存方式。数学成为科学的楷模，理性的化身，同时也是传统西方哲学 在追求最高知识中的既羡又妒的情敌。在西方传统哲学中，毕达哥拉斯派论述过 的前三个数字和某些图形，比如三角形、圆形，也获得了思想与语言的生命，尤 其是，毕达哥拉斯派的“数本原”说中包含的追求可变现象后面的不变本质的倾向， 几乎成了西方传统哲学主流中的一以贯之的“道统”。然而，毕达哥拉斯派对于数、 形所做的思想和语言赋值的大部分具体工作都失败了，这些努力被后世的哲学家 们视为幼稚、牵强、神秘，甚至是荒诞。原因何在？ 在我看来，最重要的一个原因是毕达哥拉斯派固守十进制的数字结构和几 何形状结构，使得这种意义上的“数”与“言（表达哲学思想的自然语言）”的有机 联系无法在稍微复杂一点的层次上建立起来。这个似乎只是技术上的问题造成了 这样一些不利的后果：（1）哪怕以阿拉伯数字为例，十进制数字也要在10个[算 上零的话]不同形态的符号后才出现“位置”的含义和“循环”，这就使得整个符号结 构很不经济，很不轻巧，冗员杂多，跨度过大，大大削弱了它的直接显示结构意 义的能力，也就是“成象”的能力。后来只有两、三个数字和图形获得了重要的哲 学含义这个事实暗示着：哲学思维可以与数字或图象有关系，但只能与结构上非 常简易者打交道。（2）这种包含过多、过硬的自家符号和循环方式的表达系统 很难与其他符号系统及解释符号系统的方式（比如从空间方向、时间阶段、不同的次序与位置出发的解释）沟通和耦合，于是失去了从结构上多维互连而触类旁 通的能力。这样，对数、形的各种语义解释就显得牵强，缺少暗示力和对各种复 杂的人生局面的显示力。（3）为了取得数字的象性，毕达哥拉斯派做了大量工 作，主要是通过数点排列及其运动使之与几何图形挂钩。然而，绝大多数几何图 形离语言和哲学思想还是太远，缺少生存的方向、时间与境域的显示力。而且， 毕达哥拉斯派自己就发现了“无理数”，比如正方形对角线与边之比值，由此而动 摇了在这个方向上的努力。（4）为了从根本上改变数、形与语言缺少联通渠道 的局面，这一派提出了“对立是本原”。它确实能够极大地简化符号系统的结构， 增强数、形的直接表现力和构意能力，如果毕达哥拉斯派能够将它的数理表现与 赫拉克拉特式的对于对立的更彻底和流动的理解结合起来的话。然而，在毕达哥 拉斯派那里，这种对立不仅仍然潜在地以十进制数字和几何图形为前提，未能获 得符号的结构层次上的意义，而且，如上所述，它对立得还不够真实原发，以致 于每个对子的两方的意义未能充分地相互需要，一方可以从“本质”上压制和统治 另一方，因而大大限制了这种对立的变通能力和构造能力。
总之，在大多数毕达哥拉斯派之数与哲理语言之间很难出现居中的、沟通 两者的象，再加上西方文字的拼音特点，致使毕达哥拉斯派的数与言的沟通努力 大多流产。但他之后的希腊哲学家，比如巴门尼德、柏拉图、亚里士多德等，还 是在保留其基本精神的前提下另辟蹊径，试图在人们普遍使用的语言中找出或构 造出最接近数学结构的东西。于是，他们发现了或不如说是发明了一种概念化的 自然语言。这种语言似乎具有数学语言的“是其所是”的先天确定性和数学运算那 样的推演力，比如巴门尼德（Parmenides）在其《残篇》第2节中讲到：“存在是 存在的，它不能不存在（THATITIS,anditisnotpossibleforITNOTTOBE），这是可 靠的路径，因为它通向真理。”这就是一种有意识地去争得数学那样的确定性的 语言游戏，几乎就是重言式，[13]却为两千多年的西方哲学确立了“存在”或“是” 这个形而上学的大问题。所以巴门尼德抛弃了绝大部分毕达哥拉斯之数，只保留 了1和圆形，作为“存在（是）”这一自然语言中的范畴的对应物，由此而开创了 西方哲学两千年之久的“存在论”传统。当然，在“圆形”的、“静止”的“1”被突出到 无以复加的程度的同时，毕达哥拉斯派通过推演结构来演绎思想和语言的良苦用 心就在很大程度上被忽视了。
后来柏拉图讲的“辩证法”和亚里士多德的“逻辑”与“形而上学”（但不包括 他对“实践智慧”的考虑），都是在追求这种数学化哲学的推演理想，其结果就是 为整个传统西方哲学建立了一整套概念化语言和运作机制，用当今一位美国哲学 家库恩的术语来讲，就是建立起了传统西方哲学的“范式”（paradigm）。在其中，尽管表面上也有不同的倾向，比如亚里士多德的实践哲学方面、中世纪的唯名论 和近现代的经验主义，但那（尤其是后两者）不过是在既定的大格局里的分叉而 已。最后，这种通过概念化获得数学式的确定性和讨论哲学问题所需要的终极性 的理想在黑格尔那里达到了一次辉煌和悲壮的体现。当然，这种观念化或范畴化 的转换也付出了沉重的代价，“范畴演绎”和“辩证逻辑”一直缺少数学系统所具有 的那种有自身内在依据的推演机制。所以，成为像数学或数学化的物理学那样的 严格科学，同时又具有解释世界与人生现象的语义功能，这一直是西方哲学的梦 想。但情况似乎是：毕达哥拉斯派的哲学梦破碎之处，其他的西方哲学家也极少 能够将其补足。不过，毕竟还有某种希望：前两三个数字进入了哲学这一事实似 乎表明：数、形并非都与思想语言完全异质。基数越小，越有可能与自然语言沟 通。而且，如果这“小”不只意味着数量的“少”，而可以意味着进制的“小”和图形 的“简易”的话，就有可能出现新的数与言之间的更紧密的关系。于是我们看到近 代的莱布尼兹提出了二进制数学，以及这种简易型的数理精神在当代数字化革命 中扮演的中心角色。这种改变人类生存方式的简易数理依然是形而上学的。也就 是说，它依然是在用一套人工符号的超越框架来规范人生，而不是“道法自然”。
只不过，它在两千年的概念形而上学之后又回复到了毕达哥拉斯，让我们又一次 感到“数是万物的本原”的深刻而又令人战栗的力量。
-------------------------------------------------------------------------------- [1]参见 D.A.Drennen,ed.,AModernIntroductiontoMetaphysics,NewYork:FreePressofGlencoe, 1962。此书是一本从巴门尼德到怀特海的著作选集，按形而上学中的问题分类。
[2]参见 R.G.Collingwood,AnEssayonMetaphysics,Oxford:ClarendonPress,1940。此书正文的 第一句话是：“要讨论形而上学，唯一正派的、当然也是聪明的方式就是从亚里 士多德开始。” [3]《形而上学》，982b14-28。
[4]引自《古希腊悲剧经典》，罗念生译，北京：作家出版社，1998年， 49页。
[5]亚里士多德：《形而上学》，985b-986a，昊寿彭译，北京：商务印书 馆，1981年，12-13页。[6]参见若-弗・马泰伊：《毕达哥拉斯和毕达哥拉斯学派》，管震湖译， 北京：商务印书馆，1997年，90页以下；
《古希腊哲学》，苗力田主编，中国人 民大学出版社，1989年，78页；
汪子嵩等：《希腊哲学史》第1卷，人民出版社， 1997年，290页以下。
[7]《古希腊哲学》，78页。
[8]《毕达哥拉斯和毕达哥拉斯学派》，115页以下。
[9]同上书，125页。译文稍有改动。
[10]《希腊哲学史》第1卷，290页。
[11]亚里士多德：《论天》，引自〈希腊哲学史〉第1卷，283页。
[12]《毕达哥拉斯与毕达哥拉斯学派》，107页以下。
[13]巴门尼德的话可以简略地表述为：“是是，它不能不是”，因为“存在” 与“是”在古希腊和大多数西方语言中从根子上是一个词，如英文之“being”与“be”。