以错纠错的研究论文
以错纠错的研究论文 “以错纠错”的案例分析 文／罗增儒 在文［1］中，笔者认为：“学生在解题中出错是学习活动的必然现象，教 师对错例的处理是解题教学的正常业务，并且，错例剖析具有正例示范所不可替 代的作用，两者相辅相成构成完整的解题教学”．下面发生在特级教师身上的“以 错纠错”现象，竟能在多家刊物延续十年之久，则促使笔者进一步思考：错例分 析可能对教师的教学观念和业务素质都提出了更高的要求． 一、出示案例 我们先引述3处典型做法． 1.早在1990年，文［2］曾对一道数列极限题指出“思维定势在解题中的消 极影响”；然后在文［3］、［4］中表达了同样的看法．最近（2001年5月）又在 文［5］中将欠妥的认识原原本本发表出来（见原文例4）：
例1若（3ａn＋4ｂn）＝8，（6ａn－ｂn）＝1，求（3ａn＋ｂn）． 学生对“和的极限等于极限的和”的结论十分熟悉，受其影响，产生了下列 错误解法：
由 （3ａn＋4ｂn）＝8， （6ａn－ｂn）＝1． 得 3ａn＋4ｂn＝8，① 6ａn-ｂn＝1．② ①×2－②，可得ｂn＝15／9， 并求得ａn＝4／9． ∴（3ａn＋ｂn）＝3ａn＋ｂn＝12／9＋15／9＝3． 这是一种错误的解法．因为按照极限运算法则，若ａn＝Ａ，ｂn＝Ｂ，则 才有（ａn＋ｂn）＝ａn＋ｂn＝Ａ＋Ｂ．反之不真，而由（3ａn＋ｂn）＝8， （6ａn－ｂn）＝1， 不一定保证ａn与ｂn存在．比如 ａn＝4／3＋（1／3）ｎ2，ｂn＝1－（1／4）ｎ2， 则有（3ａn＋4ｂn）＝8， 但是ａn与ｂn均不存在极限． 正解：（3ａn＋ｂn）＝（1／3）（3ａn＋4ｂn）＋（1／3）（6ａn－ｂn） ＝8／3＋1／3＝3． 某些法则或定理，其结论是在限定条件下产生的．如果平时练习，限定条 件的问题练多了，就容易忽视限定条件，造成对法则、定理理解的偏差，产生定 势思维．教师在课堂教学时，应该把定理、法则成立的条件、适应的范围放在第 一位讲，就是让学生认识到条件在结论中的重要地位，把条件与结论等同起来强 调，并通过恰当的反例来说明． 要克服思维定势的消极影响，就要从加强双基教学入手，加强数学基本思 想和方法的训练，排除由于只靠记忆一些孤立方法与技巧而形成的定势，鼓励和 引导学生独立思考、探索最佳解题方法，让学生从不同角度多方位地去考虑问题， 拓展思维的深度与广度．（引文完） 2.数学通报1999年第11期（Ｐ．43）文［6］记述了一次公开课：在一次 公开课评比中，有位老师在讲授“数列极限的运算法则”一课时，曾举了这样一个 例子（本文记为例2）：
例2已知（2ａn＋3ｂn）＝5，（ａn－ｂn）＝2，求（ａn＋ｂn）．当时有位学生提出这样一种解法：
解：设ａn＝Ａ，ｂn＝Ｂ，则由题设可知 （2ａn＋3ｂn）＝2ａn＋3ｂn＝2Ａ＋3Ｂ＝5，① （аn－ｂn）＝ａn－ｂn＝Ａ－Ｂ＝2．② 联立①，②解得 Ａ＝11／5，Ｂ＝1／5． ∴（ａn＋ｂn）＝ａn＋ｂn＝Ａ＋Ｂ＝11／5＋1／5＝12／5． 对于上述解法，这位教师结合数列极限的运算法则引导学生提出了问题：
ａn和ｂn一定存在吗 随后，教师鲜明地指出：由题设我们不能判断ａn和ｂn是否一定存在，从 而上述解法缺乏依据，是错误的．关于这类问题，我们常用“待定系数法”求解． 另解：设ａn＋ｂn＝ｘ（2ａn＋3ｂn）＋ｙ（ａn－ｂn）（其中ｘ，ｙ为 待定的系数），则 ａn＋ｂn＝（2ｘ＋ｙ）ａn＋（3ｘ－ｙ）ｂn， 从而有 2ｘ＋ｙ＝1， 3ｘ－ｙ＝1． 解之得ｘ＝2／5，ｙ＝1／5． ∴ａn＋ｂn＝（2／5）（2ａn＋3ｂn）＋（1／5）（ａn－ｂn）， ∴（ａn＋ｂn）＝［（2／5）（2ａn＋3ｂn）＋（1／5）（ａn－ｂn）］ ＝（2／5）（2ａn＋3ｂn）＋（1／5）（ａn－ｂn）＝2／5×5＋1／5×2＝12／5． 这种讲授方法既巩固了数列极限的运算法则，又充分暴露了学生存在的问题，给学生留下了极为深刻的印象，深受评委们的一致好评．（引文完） 3.江苏省常州高级中学（是一所有90年历史的江南名校）数学组根据多年 教学积累的经验写了一本书《数学题误解分析（高中）》，其第6章题30如下（见 文［7］Ｐ．342，本文记为例3）：
例3已知（2ａn＋3ｂn）＝7，（3ａn－2ｂn）＝4，求（2ａn＋ｂn）之值． 误解：∵（2ａn＋3ｂn）＝7，（3ａn－2ｂn）＝4， ∴ 2ａn＋3ｂn＝7，① 3ａn－2ｂn＝4．② ①×2＋②×3，得 13ａn＝26， ∴ａn＝2． 代入式①，得 ｂn＝1． ∴（2ａn＋ｂn）＝2ａn＋ｂn＝2×2＋1＝5． 正确解法：设ｍ（2ａn＋3ｂn）＋ｐ（3ａn－2ｂn）＝ｋ（2ａn＋ｂn）． 其中ｍ，ｐ，ｋ均为待定的整数，则比较ａn，ｂn的系数得 2ｍ＋3ｐ＝2ｋ，① 3ｍ－2ｐ＝ｋ．② 由式①、②消去ｋ，得 2ｍ＋3ｐ＝2（3ｍ－2ｐ）＝6ｍ－4ｐ，∴4ｍ＝7ｐ． 当ｍ，ｐ分别取7和4时，ｋ＝13． ∴2ａn＋ｂn＝（7／13）（2ａn＋3ｂn）＋（4／13）（3ａn－2ｂn）． ∴（2ａn＋ｂn）＝（7／13）（2ａn＋3ｂn）＋（4／13）（3ａn－2ｂn） ＝7／13×7＋4／13×4＝5． 错因分析与解题指导：已知（2ａn＋3ｂn）＝7，（3ａn－2ｂn）＝4，并 不意味着ａn、ｂn存在，在误解中利用数列极限的运算法则：（ａn±ｂn）＝ａ n±ｂn，默认ａn与ｂn存在，这是错误的．要求（2ａn＋ｂn），就必须将2ａn ＋ｂn去用（2ａn＋3ｂn）与（3ａn－2ｂn）表示出来，为此可以用如正确解答 中那样用待定系数法来解．显然ｍ、ｐ的值不是惟一的，但是对不同的ｍ、ｐ之 值求得的极限值是相同的，因此可以取使计算较为方便的整数值．（引文完） 以上详细引述的3个例子只有数字上的微小区别，而教师（包括评委）的 看法是完全一致的．类似的看法还可参见文［8］～［12］． 虽然，大家的看法如此一致，如此长久，但文［6］的作者仍能力排众议， 大声发问：“由题设，真的不能判断ａn和ｂn是否存在吗”回答是否定的．教师的 “纠错”比学生错得更多． 二、案例分析 我们以例1为主来进行分析，弄清学生的错误、教师的错误、错误的性质 和应吸取的教训等． 1.学生解法的认识 学生的解法中有两个合理的成分：其一是能紧紧抓住两个已知条件，综合 使用；
其二是想到运用极限运算法则；
得出的极限值也确为所求． 缺点是默认了ａn与ｂn的存在；
也不会整体使用极限运算法则，这可以从 3个方面来分析． （1）知识性错误表现在：没有验证ａn与ｂn极限的存在性就使用极限运算法则；
没有证明 或证明不了ａn与ｂn极限的存在性；
还不会变通使用（如借用待定系数法）极限 运算法则． （2）逻辑性错误 表现为逻辑上的“不能推出”：跳过ａn与ｂn极限存在性的必要前提，直接 使用极限运算法则．但此处仅仅为未验证前提，而并非“前提不真”．对此，“教 师”的错误性质比学生的默认更有问题，下面会谈到． （3）心理性错误 表现为“潜在假设”，默认ａn与ｂn极限的存在性，既未想到要证明，更未 给出证明． 由于在已知条件下，ａn与ｂn的极限确实存在，所以，学生的错误属于“对 而不全”，缺少了关键步骤． 这个事实说明，学生的学习过程，是以自身已有的知识和经验为基础的主 动建构活动．其“对而不全”的解法，正是学生对该数学问题的一种“替代观念”， 是建构活动的一个产物，既有一定的合理性，又需要完善．接下来的反审活动， 有助于学生掌握元认知知识，获得元认知体验和进行元认知调控． 2.教师认为“不一定保证ａn与ｂn存在”是不对的 事实上，在已知条件下，用待定系数法不仅可以求（3ａn＋ｂn），而且 可以求（αａn＋βｂn），取α＝1，β＝0或α＝0，β＝1只不过是一种更简单的特殊 情况．我们来给出一个更一般的结论． 命题1若（α1ａn＋β1ｂn）＝ｃ1，（α2ａn＋β2ｂn）＝ｃ2， 则当ａ1β2－α2β1≠0时，两个极限ａn与ｂn均存在，且 ａn＝ｃ1β2－ｃ2β1／α1β2－α2β1，ｂn＝α1ｃ2－α2ｃ1／α1β2－α2β1． 证明：设 ａn＝ｘ（α1ａn＋β1ｂn）＋ｙ（α2ａn＋β2ｂn）＝（α1ｘ＋α2ｙ）ａn＋（β1ｘ＋β2ｙ）ｂn， 令 α1ｘ＋α2ｙ＝1， β1ｘ＋β2ｙ＝0． 解得ｘ＝β2／（α1β2－α2β1），ｙ＝－β1／（α1β2－α2β1）． 从而 ［x（α1ａn＋β1ｂn）＋ｙ（α2ａn＋β2ｂn）］ ＝ｘ（α1ａn＋β1ｂn）＋ｙ（α2ａn＋β2ｂn） ＝ｘｃ1＋ｙｃ2＝（ｃ1β2－ｃ2β1）／（α1β2－α2β1）． 即ａn＝（ｃ1β2－ｃ2β1）／（α1β2－α2β1）． 同理可确定ｂn极限的存在性，并计算出 ｂn＝（α1ｃ2－α2ｃ1）／（α1β2－α2β1）． （1）取α1＝3，β1＝4，ｃ1＝8，α2＝6，β2＝－1，ｃ2＝1，可得ａn＝4 ／9，ｂn＝5／3．这就是例1．也可以用文［2］正解的方法求出 ａn＝［（1／27）（3ａn＋4ｂn）＋（4／27）（6ａn－ｂn）］ ＝（1／27）（3ａn＋4ｂn）＋（4／27）（6ａn－ｂn）＝8／27＋4／27 ＝4／9． ｂn＝［（2／9）（3ａn＋4ｂn）－（1／9）（6ａn－ｂn）］ ＝（2／9）（3ａn＋4ｂn）－（1／9）（6ａn－ｂn）＝16／9－1／9＝5 ／3． （2）取α1＝2，β1＝3，ｃ1＝5，α2＝1，β2＝－1，ｃ2＝2，这便得例2， 有ａn＝（1／5）（2ａn＋3ｂn）＋（3／5）（ａn－ｂn） ＝1／5×5＋3／5×2＝11／5， ｂn＝（1／5）（2ａn＋3ｂn）－（2／5）（ａn－ｂn） ＝1／5×5－2／5×2＝1／5． （3）取α1＝2，β1＝3，ｃ1＝7，α2＝3，β2＝－2，ｃ2＝4，这便得例3， 确实有ａn＝2，ｂn＝1． 应该说，求ａn、ｂn与求（αａn＋βｂn）道理是一样的，为什么会有这么 多的教师长期坚持“ａn、ｂn不一定存在”呢这除有知识、逻辑因素外，而对多数 人来说，恐怕还有一个“人云亦云”，迷信权威、迷信刊物的心理性错误．我们说， 失去自信比缺少知识更为可怕． 3.反例“ａn＝4／3＋ｎ2／3，ｂn＝1－ｎ2／4”的错误根源 上面已经严格证明了ａn与ｂn的存在性（以α1β2－α2β1≠0为前提），因 而文［2］作者一次又一次重复给出的反例肯定是错误的，问题是应该找出错误 的原因，弄清错误的性质． （1）检验可以发现错误 把ａn＝4／3＋ｎ2／3，ｂn＝1－ｎ2／4代入已知条件，有 （3ａn＋4ｂn）＝8＝8． 但（6ａn－ｂn）＝（7＋9／4ｎ2） 不存在，更不等于1． 所以，文［2］的反例并不能成为反例．其之所以成为反例，是作者根据 不充分的前提（来验证第2个条件）得出的，逻辑上犯有“不能推出”的错误． （2）误举反例的原因分析 ①首先是对题目中有两个条件重视不够，在找反例时，主要依据“若ａn、 ｂn存在，则（ａn＋ｂn）＝ａn＋ｂn，反之不真（思维定势）”．这对只有一个条件是成立的；
据此找出的反例也只验证第1个条件，而不验证第2个条件，这可 能也是“反之不真”思维定势的负迁移． ②其次是对下面的结论不知道，或未认真思考过：
命题2若（α1ａn＋β1ｂn）＝ｃ1，（α2ａn＋β2ｂn）＝ｃ2． 则有 （ｉ）当α1β2－α2β1≠0时，ａn、ｂn均存在；
（ｉｉ）当α1β2－α2β1＝0且α1ｃ2－α2ｃ1＝0时，则ａn，ｂn的极限不 一定存在．（文［2］的反例适用这一情况） （ｉｉｉ）当α1β2－α2β1＝0且α1ｃ2－α2ｃ1≠0，则ａn，ｂn的极限均不 存在． 这实质上是两直线相交、重合、平行判别法则的移植或线性方程组理论的 简单应用． 对比“反例”所表现出来的两个错误根源，我们认为主要还是知识原因，由 于教师没有看透题目的数学实质，从而也没有看透学生的错误性质，所进行的大 段文字分析缺少数学针对性．所以，对每一个教师而言，提高数学专业水平是一 个永无止境的课题． 4.试作一个探究性的教学设计 本文“以错纠错”的例子，持续了10年以上的时间，发表在多家刊物上，还 出现在文［6］正确纠正之后，这对读者、编者和作者都有很多教训，也错过了 一个培养学生创新精神的机会．我们愿在例题数学实质较为清楚的时候，提出一 个教学设计，分为7步． （1）提出问题，暴露学生的真实思想． 其过程是给出例1（或例2、例3等，还可以根据命题2编拟3种类型的例题）， 让学生得出不完整的解法． （2）反思，引发认知冲突．教师与学生一起检查每一步的依据，发现使用极限运算法则需要ａn、ｂn 的存在性做前提．前提存在吗有两种可能：或举一个反例来否定，或给出一个证 明来肯定． （3）分两大组自主探索，自我反省． 按照证实与证伪可以分两大组，下分小组，每组三五人，让学生在学习共 同体中自主探索，教师巡回指导，这将是一个十分生动的过程． （4）得出ａn、ｂn的求法． 这样，学生的求解就完整了．可以分成三步：
①求ａn＝…＝4／9；
②求ｂn＝…＝15／9；
③求（3ａn＋ｂn）＝…＝3． （5）进行解题分析，得出改进解法． 引导学生认识到：
①求ａn、ｂn所使用的方法也可以直接用到求（3ａn＋ｂn）上来． ②先分别求ａn、ｂn，再合并得结论（3ａn＋ｂn）有思维回路：
（3ａn＋4ｂn）（合） ａn （分） （6ａn－ｂn）（合） ｂn （3ａn＋ｂn）．（合） 删除中间步骤，可得（3ａn＋ｂn）＝［（1／3）（3ａn＋4ｂn）＋（1／3）（6ａn－ｂn）］ ＝（1／3）（3ａn＋4ｂn）＋（1／3）（6ａn－ｂn）＝8／3＋1／3＝3． （6）探索一般性． ①考虑例1的结论一般化改为，求（αａn＋βｂn）；
②考虑条件、结论均一般化，让学生发现命题1（α1β2－α2β1≠0）；
③再加一个层次，允许α1β2－α2β1＝0，让学生再发现命题2． （7）运用建构主义和元认知的观点（不出现名词）进行总结．