数学思想和数学方法研究论文:数学思维方法

数学思想和数学方法研究论文

数学思想和数学方法研究论文 知识是人们在改造世界的实践中所获得的认识和经验的总和,它是人类文 化的核心内容。在数学学科中,概念、法则、性质、公式、公理、定理等显然属 于知识的范围。这些知识要素也都有其本身的内容。问题是,这丰富多彩的内容 反映了哪些共同的、带有本质性的东西实践和研究都已说明:这就是数学思想和 数学方法。它们是知识中奠基性的成分,是人们为获得概念、法则、性质、公式、 公理、定理等所必不可少的(请注意这里的“法则”中还含有“法”字)。它们是人类 文化的重要组成部分之一数学文化的核心内容即知识中的核心,也就是数学文化 的“重中之重”。因此,把思想、方法归属于知识的范围,比起把知识、技能和方 法三者并列起来更为科学。

能力是指主体能胜任某项任务的主观条件。在数学学习中,学生的数学能 力与他们的知识基础和心理特征有关。技能是指依据一定的规则和程序去完成专 门任务(解决特定的问题)的能力。显然,技能和能力都与知识密不可分;
但学生 在任务(问题)面前如何对知识和运用这些知识的途径进行选择,使得完成任务(解 决问题)达到多快好省,则是一项超越知识本身的心理活动。因此,把知识、技 能和能力三者并列起来是合理的;
但也应看清楚,这三者的顺序是由低到高,在 教育、教学的意义下是后者更重于前者。

一、历史的回顾 我国的中学数学教学大纲,对于数学思想和数学方法的重要性的认识也有 一个从低到高的过程。

由中华人民共和国教育部制订、1978年2月第1版的《全日制十年制学校中 学数学教学大纲(试行草案)》,在第2页“教学内容的确定”的第(三)条中首次指 出:“把集合、对应等思想适当渗透到教材中去,这样,有利于加深理解有关教 材,同时也为进一步学习作准备。”这一大纲在1980年5月第2版时维持了上述规 定。

由中华人民共和国国家教育委员会制订、1986年12月第1版的《全日制中 学数学教学大纲》,在第2页“教学内容的确定”的第(三)条中,把上述大纲的有关 文字改成一句话:“适当渗透集合、对应等数学思想”。1990年修订此大纲时,维 持了这一规定。由中华人民共和国国家教育委员会制订、1992年6月第1版的《九年义务教 育全日制初级中学数学教学大纲(试用)》,在第1页“教学目的”中规定:“初中数 学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理 以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。”这份大纲还第一次把资深的数学 工作者们熟知的提法“数学,它的内容、方法和意义”改为数学的“内容、思想、 方法和语言已广泛渗入自然科学和社会科学,成为现代文化的重要组成部分”, 并把这段话放入总论的第一段。在第9页上又指出,要“使学生掌握消元、降次、 配方、换元等常用的数学方法,解决某些数学问题,理解‘特殊一般特殊’、‘未知 已知’、用字母表示数、数形结合和把复杂问题转化成简单问题等基本的思想方 法”;
在第6页上还指出,“要注意充分发挥练习的作用,加强对解题的正确指导, 应注意引导学生从解题的思想方法上作必要的概括。” 由国家教育委员会基础教育司编订、1996年5月第1版的《全日制普通高级 中学数学教学大纲(供试验用)》,在第2页“教学目的”中也规定:“高中数学的基 础知识是指:高中数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容 反映出来的数学思想和方法。”在界定“思维能力”一词的四个主要层面时,指出 第三层面是“会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点”;
第四层面是“能运 用数学概念、思想和方法,辨明数学关系,形成良好的思维品质”。这份大纲维 持了数学的“内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分”的提法(第 1页);
并指出数学规律“包括公理、性质、法则、公式、定理及其联系,数学思 想、方法和语言”(第24页);
坚持在对解题进行指导时,应该“对解题的思想方法 作必要的概括”(第25页)。这是建国以来对数学思想和数学方法关注最多的一份中 学数学教学大纲,充分体现了数学教育工作者对于数学课程发展的一些共识。

二、数学思想方法 (一)思想、科学思想和数学思想 思想是客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果。它是从大 量的思维活动中获得的产物,经过反复提炼和实践,如果一再被证明为正确,就 可以反复被应用到新的思维活动中,并产生出新的结果。本文所指的思想,都是 那些颠扑不破、屡试不爽的思维产物。因此,对于学习者来说,思想就成为他们 进行思维活动的细胞和基础;
思想和下面述及的方法都是他们的思维活动的载体。

每门科学都逐渐形成了它自己的思想,而科学法则概括出各门科学共同遵循和运 用的一些科学思想。所谓数学思想,是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中, 经过思维活动而产生的结果,它是对数学事实与数学理论的本质认识。首先,数 学思想比一般说的数学概念具有更高的抽象和概括水平,后者比前者更具体、更 丰富,而前者比后者更本质、更深刻。其次,数学思想、数学观点、数学方法三 者密不可分:如果人们站在某个位置、从某个角度并运用数学去观察和思考问题, 那么数学思想也就成了一种观点。而对于数学方法来说,思想是其相应的方法的 精神实质和理论基础,方法则是实施有关思想的技术手段。中学数学中出现的数 学观点(例如方程观点、函数观点、统计观点、向量观点、几何变换观点等)和各 种数学方法,都体现着一定的数学思想。

数学思想是一类科学思想,但科学思想未必就单单是数学思想。例如,分 类思想是各门科学都要运用的思想(比方语文分为文学、语言和写作,外语分为 听、说、读、写和译,物理学分为力学、热学、声学、电学、光学和原子核物理 学,化学分为无机化学和有机化学,生物学分为植物学、动物学和人类学等;
中 学生见到的最漂亮的分类应该是在学习哺乳纲动物时所出现的门(亚门)、纲(亚 纲)、目(亚目)、属、科、种的分类表,它不是单由数学给予的。只有将分类思想 应用于空间形式和数量关系时,才能成为数学思想。如果用一个词语“逻辑划分” 作为标准,那么,当该逻辑划分与数理有关时(可称之为“数理逻辑划分”),可以 说是运用数学思想;
当该逻辑划分与数理无直接关系时(例如把社会中的各行各 业分为工、农、兵、学、商等),不应该说是运用数学思想。同样地,当且仅当 哲学思想(例如一分为二的思想、量质互变的思想和肯定否定的思想)在数学中予 以大量运用并且被“数学化”了时,它们也可以称之为数学思想。

(二)数学思想中的基本数学思想 在数学思想中,有一类思想是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性 和总结性的思维成果,这些思想可以称之为基本数学思想。基本数学思想含有传 统数学思想的精华和近现代数学思想的基本特征,并且也是历史地形成和发展着 的。

基本数学思想包括:符号与变元表示的思想,集合思想,对应思想,公理 化与结构思想,数形结合的思想,化归的思想,对立统一的思想,整体思想,函 数与方程的思想,抽样统计思想,极限思想(或说无限逼近思想)等。它有两大“基 石”符号与变元表示的思想和集合思想,又有两大“支柱”对应思想和公理化与结 构思想。有些基本数学思想是从“基石”和“支柱”衍生出来的,例如“函数与方程 的思想”衍生于符号与变元表示的思想(函数式或方程式)、集合思想(函数的定义域或方程中字母的取值范围)和对应思想(函数的对应法则或方程中已知数、未知 数的值的对应关系)。所以我们说基本数学思想是体现或应该体现于“基础数 学”(而不是说“初等数学”)的具有奠基性和总结性的思维成果。基本数学思想及其 衍生的数学思想,形成了一个结构性很强的网络。中学数学教育、教学中传授的 数学思想,应该都是基本数学思想。

非科学思想当然也是大量存在的。例如,“崇洋媚外”的思想就是一种非科 学思想。

中学数学教科书中处处渗透着基本数学思想。如果能使它落实到学生学习 和运用数学的思维活动上,它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论 的功能。

(三)思路、思绪和思考 我们在中学数学教育、教学中,还经常使用着“思路”和“思绪”这两个词语。

一般说来,“思路”是指思维活动的线索,可视为以串联、并联或网络形状出现的 思想和方法的载体,而“思绪”是指思想的头绪。“思路”和“思绪”实际上是同义词, 并且它们都是名词。

那么,另一个词语“思考”又是什么意思呢“思考”就是进行比较深刻、周到 的思维活动。作为动词,它反映了主体把思想、方法、串联、并联或用网络组织 起来以解决问题的思维过程。由此可见,“思考”所产生的有效途径就是“思路”或 “思绪”;
“思路”或“思绪”是“思考”的结果,是思想、方法的某种选择和组织,且 明显带有程序性。对思路及其所含思想、方法的选择和组织的水平,反映了学习 者能力的差异。(四)方法和数学方法 所谓方法,是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中 所包含的可操作的规则或模式。人们通过长期的实践,发现了许多运用数学思想 的手段、门路或程序。同一手段、门路或程序被重复运用了多次,并且都达到了 预期的目的,便成为数学方法。数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法, 即用数学语言表达事物的状态、关系和过程,经过推导、运算和分析,以形成解 释、判断和预言的方法。

数学方法具有以下三个基本特征:一是高度的抽象性和概括性;
二是精确 性,即逻辑的严密性及结论的确定性;
三是应用的普遍性和可操作性。数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用:一是提供简洁精 确的形式化语言,二是提供数量分析及计算的方法,三是提供逻辑推理的工具。

现代科学技术特别是电脑的发展,与数学方法的地位和作用的强化正好是相辅相 成。

宏观的数学方法包括:模型方法,变换方法,对称方法,无穷小方法,公 理化方法,结构方法,实验方法。微观的且在中学数学中常用的基本数学方法大 致可以分为以下三类:
(1)逻辑学中的方法。例如分析法(包括逆证法)、综合法、反证法、归纳法、 穷举法(要求分类讨论)等。这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则,又因 运用于数学之中而具有数学的特色。

(2)数学中的一般方法。例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法(也 称坐标法。代数中常用图象法,解析几何中常用坐标法)、向量法、比较法(数学 中主要是指比较大小,这与逻辑学中的多方位比较不同)、放缩法、同一法、数 学归纳法(这与逻辑学中的不完全归纳法不同)等。这些方法极为重要,应用也很 广泛。

(3)数学中的特殊方法。例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换 元法(也称之为中间变量法)、拆项补项法(含有添加辅助元素实现化归的数学思 想)、因式分解诸方法,以及平行移动法、翻折法等。这些方法在解决某些数学 问题时起着重要作用,不可等闲视之。

(五)方法和招术 如上所述,方法是解决思想、行为等问题的门路和程序,是思想的产物, 是包含或体现着思想的一套程序,它既可操作又可仿效。在选择并实施方法的前 期过程中,反映了学习者的能力和技能的高低;
而在后期过程中,只反映了学习 者的技能的差异。

所谓“招术”“招”字应正为“着”字,本文仍用传统的“一招一式”的说法。是 指解决特殊问题的专用计策或手段,纯属于技能而不属于能力。“招”的教育价值 远低于“法”(这里的“法”指“通法”)的价值。“法”的可仿效性带有较为“普适”的意义, 而“招”的“普适”要差得多;
实施“招”要以能实施管着它的“法”为前提。

例如,待定系数法是一种特别有用的“法”。求二次函数的解析式时,用待定系数法根据图象上三个点的坐标求出解析式可看作第一“招”;
根据顶点和另一 点的坐标求出解析式可看作第二“招”;
根据与x轴交点和另一点的坐标求出解析 式可看作第三“招”。这三“招”各有奇妙之处。哪一“招”更好使用,要看条件和管 着它们的“法”而定。教师授予学生“用待定系数法求二次函数的解析式”,最根本、 最要紧的“法旨”就在于让学生明确二次函数的解析式中自变量、函数值和图象上 点的横、纵坐标的对应关系;
对于一般的点和特殊的点(例如顶点及与x轴的交点), 解析式可以有什么不同的反映。而这样的“法旨”,恰恰体现了对应思想和数形结 合的思想。由此看来,我国古代传说中经常提到的某些师傅对待弟子“给‘招’不给 ‘法’”的现象,在现代的数学教育、教学中应该尽量避免。

三、中学数学教科书中应该传授的基本数学思想和方法 (一)中学数学教科书中应该传授的基本数学思想中学数学教科书担负着 向学生传授基本数学思想的责任,在程度上有“渗透”、“介绍”和“突出”之分。1. 渗透。“渗透”就是把某些抽象的数学思想逐渐“融进”具体的、实在的数学知识中, 使学生对这些思想有一些初步的感知或直觉,但还没有从理性上开始认识它们。

要渗透的有集合思想、对应思想、公理化与结构思想、抽样统计思想、极限思想 等。前三种基本数学思想从初中一年级就开始渗透了,并贯彻于整个中学阶段;

抽样统计思想可从初中三年级开始渗透,极限思想也可从初中三年级的教科书中 安排类似于“关于圆周率π”这样的阅读材料开始渗透。至于公理化与结构思想, 要注意根据人类的认识规律,一开始就采取扩大的公理体系。例如,教科书既可 以把“同位角相等,两直线平行”和它的逆命题都当作公理,也可以把判定两个三 角形全等的三个命题“边角边”、“角边角”和“边边边”都当作公理。

这种渗透是随年级逐步深入的。例如集合思想,初中是用文氏图或列举法 来表示集合,不等式(组)的解集可以用数轴表示或用不等式(组)表示;
高中则是 列举法、描述法、文氏图三者并举,并同时允许用不等式(组)、区间或集合的描 述法来表示实数集的某些子集。又如对应思想,初中只用文字、数轴或平面直角 坐标系来讲对应;
高中则在此基础上引入了使用符号语言的对应法则。至于公理 化与结构思想、抽样统计思想和极限思想在初、高中阶段的不同渗透水平,则是 众所周知的。“渗透”到一定程度,就是“介绍”的前奏了。

2.介绍。“介绍”就是把某些数学思想在适当时候明确“引进”到数学知识中, 使学生对这些思想有初步理解,这是理性认识的开始。要介绍的有符号与变元表 示的思想、数形结合的思想、化归的思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、 极限思想等。这种介绍也是随年级逐步增加的。有的思想从初中一年级起就开始介绍(例如前四种基本数学思想),有的则是先渗透后介绍(例如后两种基本数学思 想)。“介绍”与“渗透”的基本区别在于:“渗透”只要求学生知道有什么思想和是什 么思想,而“介绍”则要求学生在此基础上进而知道为什么叫做思想(含思想的要 素和特征)、用什么思想(含思想的用途)并学会运用。作为补充,也可以就问题适 时地向学生介绍如何运用一分为二的思想和整体思想。

3.突出。“突出”就是把某些数学思想经常性地予以强调,并通过大量的综 合训练而达到灵活运用。它是在介绍的基础上进行的,目的在于最大限度地发挥 这些数学思想的功能。要突出的有数形结合的思想、化归的思想、函数与方程的 思想等。这些基本数学思想贯穿于整个中学阶段,最重要、最常用,是中学数学 的精髓,也最能长久保存在人一生的记忆之中。“介绍”与“突出”的基本区别在 于:“介绍”只要求学生知道用什么和会用,而“突出”则要求学生在此基础上进而 知道选用和善用。作为补充,也可以就数学问题经常向学生突出分类思想的运用。

(二)中学数学教科书中应该传授的基本数学方法在传授基本数学方法方 面,仍如义务教育初中数学教学大纲所界定的,有“了解”、“理解”、“掌握”和“灵 活运用”这四个层次。这四个层次的含义也可以遵照该大纲中的提法(第8页脚注), 新的高中数学教学大纲(供试验用。本文下面所述“高中大纲”均指此大纲)维持了 这些提法(第4页脚注)。分别属于这四个层次的基本数学方法的例子有:“了解数 学归纳法的原理”(高中大纲第9页),“了解用坐标法研究几何问题”(高中大纲第10 页);
“理解‘消元’、‘降次’的数学方法”(初中大纲第19页);
“掌握分析法、综合法、 比较法等几种常用方法证明简单的不等式(高中大纲第6页)”;
“灵活运用一元二次 方程的四种解法求方程的根”(初中大纲第17页。四种解法指直接开平方法、配方 法、公式法和因式分解法)。在这方面,大纲的规定是比较明确的。

在大纲、教科书和实际教学中,有时把“思想方法”作为一个词语使用。为 什么可以这样做呢这要看我们从哪个角度来分析。例如在解二元一次方程组时, 我们常说要让学生掌握“消元”的思想方法。事实上,当我们从“化未知为已知”的 角度去分析此问题时,其思想属于“化归的思想”;
当我们从“化二元为一元”的角 度去分析此问题时,其方法属于“消元法”;
而当我们从“代入公式直接求解”的角 度去分析此问题时,就出现了“行列式法”(其实也是“代入法”)。根据这样的认识, 在不少场合下笼统使用“思想方法”一词是合理的,但作为科学研究,必须把“思 想”和“方法”分开予以界定。

有关数学思想和数学方法,尚是一个崭新的研究课题。以上认识涉及很多 因素,有待进一步开掘。错漏之处,欢迎批评指正。