数学是创造思维的体操——数学的创造性学习
数学是创造思维的体操——数学的创造性学习 什么是数？ 开天辟地之初，人类就开始与数打交道。数即是数目的意思。正如《汉 书·律历志上》云：“数者，一十百千万也。” 数进入数学体系就成为它的最基本概念之一，数的概念是随着人类的 生产和生活实践的不断发展而逐渐形成的，并且永无止境地发展着。从古至今， 以自然数为开端，接着是有理数与无理数、正数与负数、实数与虚数，直至复数， 共同构成数的概念不断拓展的系列。每一次拓展都是一次创造思维的跃升。什么是数学？ 数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。古时候，人类在 生产和生活实践中便获得了数的概念和一些简单几何形体的概念。自此开始，到 16世纪，创立了包括算术、初等代数、初等几何和三角的初等数学。17世纪引入 变量概念是数学发展史中的转折点，这使得运动和辩证法进入数学，开始研究变 化中的量与量之间相互制约关系和图形间的相互变换。近年来，由于数学在自然 科学和技术领域的广泛应用，又由于计算技术的迅猛发展，数学对人类认识自然 和改造自然的重要作用也显示得更加清楚了。至今，现代数学已经形成了包括数 理逻辑、数论、代数学、几何学、拓扑学、函数论、泛函分析、微分方程、概率 论、数理统计、计算数学及边缘学科运筹学、控制论等在内的庞大体系。
与数的发展一样，数学发展史也是创造思维不断发展的历史。
数学是中小学生的主科。数学学习是中小学生增长学习能力和创造能 力的广阔天地。
一.驴唇怎能对得上马嘴呢 阴错阳差的巧事，张冠李戴的误会，在大千世界，这等笑话，时有发 生。可是，在数学课上，难道也会发生驴唇不对马嘴的事情吗？ （一）平地起风雪 话题是从一道浅显的代数题引发的。这是一个发生在某中学初一新生的一节数学课上的小故事。快下课时，老师出了一道题：“若a为自然数，说出a 以后的7个连续自然数。”一个小女孩举手抢答：“a，b，c，d，e，f，g。”话音刚 落，便引起哄堂大笑，老师也愕然了。女孩觉察到，自己的答案，驴唇不对马嘴。
出了笑话，落个满脸通红。
接着，一个男孩起来补正：“a＋1，a＋2，a+3，a+4，a＋5，a+6，a+7。” 尔后，下课铃响了。
事情平平常常。一个女孩答错了题，一个男孩纠正过来，全班同学都 明白了正确答案。下课，大家就都散了。
那么，这件事是否到此就算了结了呢？ 请思考10分钟，然后，发表你的见解。
单兵——我看是了结了。老师完成了教学任务，学生也完成了学习任 务。
焦小敏——如果说没有了结，那就是老师还得教育同学们，不要把这 事当成奚落那位小姑娘的笑柄。
张娟——还有，班上的同学也有义务鼓励那位小姑娘。
赵燕——直截了当地说，我认为没有了结。因为任何结果都有原因。
小姑娘答成“a，b，c，d，e，f，g”这是她思维的结果。那么，她一定有个由此及 彼的思维过程，其中深藏着错误的原因。老师与那个小姑娘的任务是找出原因， 避免再错。如若不然，再遇类似问题，也许她又答成“甲、乙、丙、丁、戊、己、 庚”呢。
肖冬春——我同意这种看法。换句话说，知道男孩答案正确，并不等 于找到自己的错误原因。
韩小彧——前面几位同学的发言，从不同的角度，各有各的道理。但 是，又都有一个绝对化的框框束缚着。这就是姑娘的答案一无是处；
小男孩的答 案绝对正确，天衣无缝。这个框框正是上面5个发言的潜在的共同前提。当然， 错误答案之正确部分及正确答案之不足部分，如果真有，我现在还未想出。
赫峰——她提出的问题，是一条崭新的思路，很有启发。我发现小姑娘的答案中有一个合理的因素，7个字母与题目要求的7个自然数合得上。
曹博——这么说来，错误答案中的合理因素，可不止这一个。题目要 求“a以后”，按照英语字母表由b到g都在a以后。
姚树——题目要求“连续”，按英语字母表，从a到g是连续的，并没断 开，也没跳跃。
祝越——7个符号都可以表示自然数。这一点。也是符合题目要求的。
李河——这么说来，“a以后”、“7个”、 “连续”、“自然数”4大要素都 合乎题目要求，错在哪里呢？ 讨论至此，真是平地起风云。看来已经结束的问题，却又引出一片新 话题。况且本来被公认为绝对错误的答案，现在却找不到一点破绽了。
（二）罕见的对话 正像大家的看法一样，当堂听课的主任觉察到：这件事并未结束。
下课后主任与老师讨论，老师认为“a+1”到“a+7”是唯一正确的答案， 全班已懂，教学任务已告完成。主任又去问学生。大家说那个小女孩在小学时， 特别喜欢英语。主任领悟了：小学时只是在英语学习中才见到过a，题目似乎要 求写出“a以后的7个”来，自然，a，b，c，d，e，f，g”在头脑中出现了，又在口 中说出了。这正是心理学上所说的副定势起了作用。
尔后，主任将女孩找到办公室。先肯定她喜欢英语，大胆举手的优点， 接着是双方一连串的对话。
“那题明白了吗？” “明白了。” “你的答案呢？” “全错了。” “一点对的地方也没有？”“没有。” “一丁点儿都没有？” “没有。” “真的吗？” “我没想过。”（唉！没有想过就坚定地认为自已全错了！） “现在想想看。” “想不出。” “b，c，d，e，f，g，不是在a以后吗？” “是”。
“字母不是说了7个吗？” “是”。
“7个字母，排列有序，为什么不跳着说呢。” “题目上说……” “你看，‘a以后’、‘7个’、‘连续’，都有了。这些字母又都能表示自然 数。那么，哪有错的地方呢？” “咦，怎么没有错的地方了呢？” 最后，在主任启发下，发现了错误：对于这些字母，没有给出符合题 意的数学含义。一句话，把英语字母转化为数学符号的任务，没有完成。
找出错误原因，就能纠正错误。简单说，将7个英语字母赋予符合题 意的数学含意就是了。这样，找到了与众不同的答案：若a为自然数，令a＇＝a ＋1，b＝a＋2，c＝a＋3，d＝a＋4，e＝a＋5，f＝a＋6，g＝a＋7，则a＇，b，c， d，e，f，g”便是正确答案。
就是这样，正确与错误之间，只有一小撇之差。还应指出，运用这种灵活变通的思维方式，求解此题，正确答案是无 穷尽的。即使是“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚”，只要将其赋予符合题意的数学 含义，也能成为正确答案。这么看来，把“a＋1，a＋2，a＋3，a＋4，a＋5，a＋6， a＋7”看成唯一正确答案，失之于思维呆板，并且导致片面性和绝对化。
（三）深刻的启示 中小学生在数学学习中，错误常见，改错也常见。但是，这样的改错 方式从未见过。
这样的改错方式给我们的启示是深刻的，是多方面的。
1.在变通性的动态思考中更深刻地掌握数学新原理 掌握数学概念和原理，运用相关概念、原理解答数学问题，从而获得 系统的数学知识，提高思维能力，这是数学学习的基本任务。
用符号表示数是代数学的根本特点。在小学算术中只用阿拉伯数字表 示固定的具体数目。而在中学代数中，就要用抽象符号表示多种多样的数学含义。
用符号表示数的课题，是代数起始课的重点和难点。上面的题，正是为了使学生 掌握这个代数原理而设计的。
两种改错方式对理解原理的作用是不同的。先看一般方式：
a，b，c，d，e，f，g→a＋1，a＋2，a+3，a+4，a+5，a+6，a+7 再看变通方式：
a，b，c，d，e，f，g→令a＇＝a＋1，b＝a＋2，c＝a+3，d＝c+4，e ＝a+5，f＝a+6，g＝a+7→a＇，b，c，d，e，f，g 后者增加“令a＇＝a＋1，……，g＝a＋7”的一步，同时也就增加了“a ＇～g”的新的答案形式，最后回到“a＋1，……，a＋7”的答案。中间增加两步推 导，都运用了“符号表示数”的原理。这样，也就加深了对这一原理的理解。
总之，对比两种处理方式，后者更有利于数学知识的掌握和学习能力 的提高。2.创造思维能力在运用中得到增长 运用变通性方式改错，不仅有利于学习能力的提高，也有利于创造思 维能力的增长。
变通性改错方式，加大了思维难度，是进行发散思维而获得的结果。
当然，这也不是唯一的结果。更为重要的是：原来被认为解法唯一，现在变成无 穷了。这就启发我们提出问题：
（1）数学概念和数学原理统统都是永恒不变的吗？其表述方式是唯 一的吗？ （2）被认为只有一种解答方法的数学题是统统都不会有第2、第3种 解决方法吗？ 当我们对这两个问题得出“不见得”的结论时，那么对今后的数学学习 产生的影响，也就在其中了。即不以固定方式掌握数学概念、原理和题目解法为 满足，而还要运用创造思维的发散性、灵活性，对每一个数学课题予以审视，积 极发掘可能蕴含着的新内容、新方法、新的推理和新的表达方式。
这样坚持下去，就会收到数学学习能力与创造思维能力同步超常增长 的效果。
摘自于：《中小学生创造智慧超长增长训练》