[数学是创造思维的体操——数学的创造性学习]

数学是创造思维的体操——数学的创造性学习

数学是创造思维的体操——数学的创造性学习 什么是数? 开天辟地之初,人类就开始与数打交道。数即是数目的意思。正如《汉 书·律历志上》云:“数者,一十百千万也。” 数进入数学体系就成为它的最基本概念之一,数的概念是随着人类的 生产和生活实践的不断发展而逐渐形成的,并且永无止境地发展着。从古至今, 以自然数为开端,接着是有理数与无理数、正数与负数、实数与虚数,直至复数, 共同构成数的概念不断拓展的系列。每一次拓展都是一次创造思维的跃升。

什么是数学? 数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。古时候,人类在 生产和生活实践中便获得了数的概念和一些简单几何形体的概念。自此开始,到 16世纪,创立了包括算术、初等代数、初等几何和三角的初等数学。17世纪引入 变量概念是数学发展史中的转折点,这使得运动和辩证法进入数学,开始研究变 化中的量与量之间相互制约关系和图形间的相互变换。近年来,由于数学在自然 科学和技术领域的广泛应用,又由于计算技术的迅猛发展,数学对人类认识自然 和改造自然的重要作用也显示得更加清楚了。至今,现代数学已经形成了包括数 理逻辑、数论、代数学、几何学、拓扑学、函数论、泛函分析、微分方程、概率 论、数理统计、计算数学及边缘学科运筹学、控制论等在内的庞大体系。

与数的发展一样,数学发展史也是创造思维不断发展的历史。

数学是中小学生的主科。数学学习是中小学生增长学习能力和创造能 力的广阔天地。

一.驴唇怎能对得上马嘴呢 阴错阳差的巧事,张冠李戴的误会,在大千世界,这等笑话,时有发 生。可是,在数学课上,难道也会发生驴唇不对马嘴的事情吗? (一)平地起风雪 话题是从一道浅显的代数题引发的。这是一个发生在某中学初一新生的一节数学课上的小故事。快下课时,老师出了一道题:“若a为自然数,说出a 以后的7个连续自然数。”一个小女孩举手抢答:“a,b,c,d,e,f,g。”话音刚 落,便引起哄堂大笑,老师也愕然了。女孩觉察到,自己的答案,驴唇不对马嘴。

出了笑话,落个满脸通红。

接着,一个男孩起来补正:“a+1,a+2,a+3,a+4,a+5,a+6,a+7。” 尔后,下课铃响了。

事情平平常常。一个女孩答错了题,一个男孩纠正过来,全班同学都 明白了正确答案。下课,大家就都散了。

那么,这件事是否到此就算了结了呢? 请思考10分钟,然后,发表你的见解。

单兵——我看是了结了。老师完成了教学任务,学生也完成了学习任 务。

焦小敏——如果说没有了结,那就是老师还得教育同学们,不要把这 事当成奚落那位小姑娘的笑柄。

张娟——还有,班上的同学也有义务鼓励那位小姑娘。

赵燕——直截了当地说,我认为没有了结。因为任何结果都有原因。

小姑娘答成“a,b,c,d,e,f,g”这是她思维的结果。那么,她一定有个由此及 彼的思维过程,其中深藏着错误的原因。老师与那个小姑娘的任务是找出原因, 避免再错。如若不然,再遇类似问题,也许她又答成“甲、乙、丙、丁、戊、己、 庚”呢。

肖冬春——我同意这种看法。换句话说,知道男孩答案正确,并不等 于找到自己的错误原因。

韩小彧——前面几位同学的发言,从不同的角度,各有各的道理。但 是,又都有一个绝对化的框框束缚着。这就是姑娘的答案一无是处;
小男孩的答 案绝对正确,天衣无缝。这个框框正是上面5个发言的潜在的共同前提。当然, 错误答案之正确部分及正确答案之不足部分,如果真有,我现在还未想出。

赫峰——她提出的问题,是一条崭新的思路,很有启发。我发现小姑娘的答案中有一个合理的因素,7个字母与题目要求的7个自然数合得上。

曹博——这么说来,错误答案中的合理因素,可不止这一个。题目要 求“a以后”,按照英语字母表由b到g都在a以后。

姚树——题目要求“连续”,按英语字母表,从a到g是连续的,并没断 开,也没跳跃。

祝越——7个符号都可以表示自然数。这一点。也是符合题目要求的。

李河——这么说来,“a以后”、“7个”、 “连续”、“自然数”4大要素都 合乎题目要求,错在哪里呢? 讨论至此,真是平地起风云。看来已经结束的问题,却又引出一片新 话题。况且本来被公认为绝对错误的答案,现在却找不到一点破绽了。

(二)罕见的对话 正像大家的看法一样,当堂听课的主任觉察到:这件事并未结束。

下课后主任与老师讨论,老师认为“a+1”到“a+7”是唯一正确的答案, 全班已懂,教学任务已告完成。主任又去问学生。大家说那个小女孩在小学时, 特别喜欢英语。主任领悟了:小学时只是在英语学习中才见到过a,题目似乎要 求写出“a以后的7个”来,自然,a,b,c,d,e,f,g”在头脑中出现了,又在口 中说出了。这正是心理学上所说的副定势起了作用。

尔后,主任将女孩找到办公室。先肯定她喜欢英语,大胆举手的优点, 接着是双方一连串的对话。

“那题明白了吗?” “明白了。” “你的答案呢?” “全错了。” “一点对的地方也没有?”“没有。” “一丁点儿都没有?” “没有。” “真的吗?” “我没想过。”(唉!没有想过就坚定地认为自已全错了!) “现在想想看。” “想不出。” “b,c,d,e,f,g,不是在a以后吗?” “是”。

“字母不是说了7个吗?” “是”。

“7个字母,排列有序,为什么不跳着说呢。” “题目上说……” “你看,‘a以后’、‘7个’、‘连续’,都有了。这些字母又都能表示自然 数。那么,哪有错的地方呢?” “咦,怎么没有错的地方了呢?” 最后,在主任启发下,发现了错误:对于这些字母,没有给出符合题 意的数学含义。一句话,把英语字母转化为数学符号的任务,没有完成。

找出错误原因,就能纠正错误。简单说,将7个英语字母赋予符合题 意的数学含意就是了。这样,找到了与众不同的答案:若a为自然数,令a'=a +1,b=a+2,c=a+3,d=a+4,e=a+5,f=a+6,g=a+7,则a',b,c, d,e,f,g”便是正确答案。

就是这样,正确与错误之间,只有一小撇之差。还应指出,运用这种灵活变通的思维方式,求解此题,正确答案是无 穷尽的。即使是“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚”,只要将其赋予符合题意的数学 含义,也能成为正确答案。这么看来,把“a+1,a+2,a+3,a+4,a+5,a+6, a+7”看成唯一正确答案,失之于思维呆板,并且导致片面性和绝对化。

(三)深刻的启示 中小学生在数学学习中,错误常见,改错也常见。但是,这样的改错 方式从未见过。

这样的改错方式给我们的启示是深刻的,是多方面的。

1.在变通性的动态思考中更深刻地掌握数学新原理 掌握数学概念和原理,运用相关概念、原理解答数学问题,从而获得 系统的数学知识,提高思维能力,这是数学学习的基本任务。

用符号表示数是代数学的根本特点。在小学算术中只用阿拉伯数字表 示固定的具体数目。而在中学代数中,就要用抽象符号表示多种多样的数学含义。

用符号表示数的课题,是代数起始课的重点和难点。上面的题,正是为了使学生 掌握这个代数原理而设计的。

两种改错方式对理解原理的作用是不同的。先看一般方式:
a,b,c,d,e,f,g→a+1,a+2,a+3,a+4,a+5,a+6,a+7 再看变通方式:
a,b,c,d,e,f,g→令a'=a+1,b=a+2,c=a+3,d=c+4,e =a+5,f=a+6,g=a+7→a',b,c,d,e,f,g 后者增加“令a'=a+1,……,g=a+7”的一步,同时也就增加了“a '~g”的新的答案形式,最后回到“a+1,……,a+7”的答案。中间增加两步推 导,都运用了“符号表示数”的原理。这样,也就加深了对这一原理的理解。

总之,对比两种处理方式,后者更有利于数学知识的掌握和学习能力 的提高。2.创造思维能力在运用中得到增长 运用变通性方式改错,不仅有利于学习能力的提高,也有利于创造思 维能力的增长。

变通性改错方式,加大了思维难度,是进行发散思维而获得的结果。

当然,这也不是唯一的结果。更为重要的是:原来被认为解法唯一,现在变成无 穷了。这就启发我们提出问题:
(1)数学概念和数学原理统统都是永恒不变的吗?其表述方式是唯 一的吗? (2)被认为只有一种解答方法的数学题是统统都不会有第2、第3种 解决方法吗? 当我们对这两个问题得出“不见得”的结论时,那么对今后的数学学习 产生的影响,也就在其中了。即不以固定方式掌握数学概念、原理和题目解法为 满足,而还要运用创造思维的发散性、灵活性,对每一个数学课题予以审视,积 极发掘可能蕴含着的新内容、新方法、新的推理和新的表达方式。

这样坚持下去,就会收到数学学习能力与创造思维能力同步超常增长 的效果。

摘自于:《中小学生创造智慧超长增长训练》