数学学习中的联结及导向策略
数学学习中的联结及导向策略 【摘要】学习是一种联结。认为联结是从尝试错误刺激反应的发展到有意 义的学习。通过对两种理论在实践中进行分析，其特质是先进与落后的区别。数 学学习实际上是寻求“中间变量”，构建数学认知结构的过程。而目前教学中还众 多停留在尝试错误的低级层次上，与培养发展型的高素质人才不相容。以数学知 识结构为基础，以学生原有不同的的数学认知结构为出发点，以学生发展为目标 达到构建学生的认知结构，作为促进学生有意义的联结的三大导向策略。【关键词】数学学习 联结 认知结构 导向策略 一、引 言 全日制义务教育新《数学课程标准》明确指出：“有效的数学学习活动不 能单纯地依赖模仿与记忆”，教师应当帮助学生“在自主探索和合作交流的过程中 真正理解和掌握的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经 验。”这实际上从一个角度要求数学教师，要重视学生的认知学习。但在实际教 学中，还未重视认知结构的研究运用。尤其到了复习阶段，连续不断的向学生发 放复习试卷和机械地向学生布置复习题给予强化，以达到反应结果。或者在平时 教学中，让学生死记一些结论，不注重“有意义的学习”。学生的学习似乎还停留 在“S—R”阶段。这种简单的操作方法在短时间内能使考试成绩上去，但代价是学 生沉重的学习负担，并造成学生思维僵化，不利于培养“发展型”人才，与素质教 育背道而驰。如学生对于绝对值概念，只知道│a│是a绝对值，而不明白它的真 正内涵。没有通过学生生活中已建立起来的认知概念与数学内容的新认知结构进 行联结。结果是造成对绝对值概念理解的是似而非。本文就数学学习的联结问题 及导向策略上作一些探索。
二、关于联结理论 数学学习是什么过程？“人类的学习总是以一定的经验和知识为前提，是 在联想的基础上，更好地理解和掌握新知的。”① 数学学习也不例外，这里的联 想即为知识的联结过程。
关于联结，理论上的研究，目前有两大派别。一是以美国心理学家桑代克 为代表的联结主义的行为学习理论。二是以美国心理学家布鲁纳和奥苏伯尔为代 表的认知学派学习理论。桑代克的主要观点是，学习就是作尝试错误。如果把当今的学习刺激设为S，学习反应设为R，学习就是S—R的联结过程。它是在动物 实验的基础上提出的，是一种盲目的尝试。通过不断尝试，出现错误，不断矫正， 从中学会知识和技能。
而认知学派认为，学习就是知觉的重新组合，这种知觉经验变化过程不是 简单的“S—R”过程，而是突然的“顿悟”，强调“情景的整体关系”。而以美国心理 学家托而曼为代表的观点进一步认为，在 S与R之间应该有一个“中间变量”，即 认知和目的，学习是期待，就是对环境的认知。因而，学习过程是一个S—O—R 的过程。布鲁纳和奥苏伯尔还把它进行了发展为现代认知理论，认为“学习就是 类目即及其编码系统的形成。”②它不仅批评S—R直接、机械的联结，而且提出 学习存在一个认识过程，是认知结构的重新组合。强调原有的认知结构的作用， 也强调学习材料本身的内在联系。把内在联系的材料和学生原有的认知结构联结 起来，新旧知识发生作用，新材料在学生的头脑中达成“内化”，学会了对 “S—O—R”中的“O”的捕捉，成为真正的意义的联结，或者说学生对新材料有了 深刻地理解和超越。
显然，在不同的时代，上述理论对数学教育都有积极的贡献。但时至今日， 在数学教育中，我们不能不重视，数学学习重要的应该是认知学习，它是一个建 立学生心理内部学习机制的过程。这里要明白三点：学生学习数学，一要利用学 生原有的认知结构，二要重视学生一定年龄阶段的心理发展水平，三要充分考虑 不直接参与的情感、意志、兴趣等问题。
三、数学学习的两种联结思想剖析 下面结合教学实践，说明“S—R”与认知结构连结之间的各自意义。
例：如图，已知在⊙O内接△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，E是AC 的延长线上一点，AE=AB，连结DE交⊙O于P，延长ED交⊙O于Q.求证：AP=AQ. 按“S—R”的行为主义联结理论，可以让学生直接操作。这时，学生可能不 去仔细审题。由图形“先入为主”，不断尝试，不断碰壁，然后再回头去审题。在 点、线、角、三角形、圆的离散图形中不断产生错误。偶而碰上解题思路，才得 到问题的解决。之后，再不去认识、总结。下次在碰上此题，又重新错误尝试。
显然，这样的问题解决法，造成精力的极大浪费，所学知识也难以巩固。平时， 我们老师经常说：“此题我让学生解过，还做不出！”原因在于“S—R”联结不是“有 意义的学习”，没有找出新旧知识之间的内在联结，没有建立学生的新的认知结构。
而利用认知结构理论思考，首先是认真审题，进入“上位学习”③，对自己 提问：
1、见过这个问题吗？见过与其类似的问题吗？用到那些基础知识？（图 类似？还是条件类似？还是结论类似？） 2、见过与之有关的问题吗？（能利用它的某些部分吗？能利用它的条件 吗？能利用它的结论吗？引进什么辅助条件，以便利用？） 以此，把原建立的认知结构中的全等三角形、圆周角性质、等腰三角形的 判定等旧知加以调运。在此基础上，使学生进入“下位学习”④ 然后，盯住目标——始终盯住要证的结论AP=AQ。就是要明确方向，哪 怕中间状态不断变化，但始终与目标比较，及时调整自己的思路，建立“认知地 图”⑤，以不迷失方向。其基本框架如下：
有什么方法能够达到目标？（1、达到的目标的前提是什么？2、能实现其 中的某个前提吗？3、实现这个前提还应该怎么办？） 如上题，我们不妨采用逆向分析进行探索。这是认知策略的其中一条有效 途径：
AP=AQ（目标） ↑ ∠AQP=∠APQ（前提） 以下为实现前提需找中间量， 即∠AQP=中间量=∠APQ.这时, 逆向分析无法进行,此时一般就是添辅助 线的时候,转化圆周角∠AQP,连结BP,即有 ∠AQP=∠ABP. 因此,只要证明∠ABP=∠APQ. 由于∠ABP=∠ABC+∠PBC,∠APQ=∠E+∠PAC,而∠PBC=∠PAC,所以,只要证∠ABC=∠E,即证△ABC≌△AED. (以下略) 这样，学生在原有的认知结构思维水平基础上发展他的联想思维，使新旧 知识加以联结，找到证题方法，达到解决问题，建立起新的认知结构。
因此，我们在教学中，一定要把精力化在建立学生认知结构的工夫上，善 始善终加以引导。少用或不用“S—R”这种“尝试错误”的机械方法，多用科学成功 的尝试，引导学生认真寻求“中间变量”，努力使学生的新旧知识加以联结，促进 学生的数学素养不断提高。
四、数学学习联结的教学策略 事实上就学习者对数学问题的解决，无论是数学概念的形成、数学技能的 掌握，还是数学能力的培养，都是学习者由未知到已知的联结过程，即“S—R” 的联结过程，重要的是寻求“中间变量O”，从而构建数学认知结构。所谓数学认 知结构，就是学生通过自己主动的认识而在头脑里建立起来的数学知识结构。可 以这样说，数学学习的联结过程，就是数学认知建构的过程，学会自觉主动的寻 求“中间变量”。最终达到解决问题的目的的过程。那么，在这一过程中数学学习 究竟有那些规律可循？说具体一点有那些主要途径，这里谈一些粗浅的认识。
策略之一：以数学知识结构为基础，构建学生的数学认知结构 学习过程就其本质而言是一种认识活动。因此，数学教学的根本任务是发 展学生的数学认知结构，首先应明确：数学认知结构是由数学知识结构转化而来 的；
要建立学生的数学认知结构，首先必须以数学知识结构为基础，进行开发、 利用，从而转化为学生的数学的认知结构。着重把握以下三个方面：
（1）加强数学知识的整体联系。数学是一个有机整体，各知识相互联系， 教学中教师对数学知识的组织应能促进学生从前后联系上下照应的角度对数学 知识进行整体性构建从而在头脑中形成经纬交织的知识网络，这是一种“情景的 整体关系”。对于一个具体的数学问题，应该感知有效的信息。如在本文第二部 分的例题分析中提出的第1、第2个问题，就是寻求有效信息，找其联结点；
对于 “准类”的一块知识，要注意纵向联结。如函数，初一年级学习一次式、一元一次 方程、二元一次方程组时，就要向学生渗透函数思想，初二学习正比例函数、反比例函数、一次函数，要回首前面知识与函数的联系，并在学习一元二次方程时， 自然与二次函数联结作准备。到了初三，初中数学的“四个二次”（二次式、二次 方程、二次不等式、二次函数）有机地综合联结；
对于一章知识，要让学生逐步 自己小结，构成知识网络，输入大脑，形成数学认知结构。
（2）注意揭示数学思维过程。数学被称为“思维的体操”，但是数学的思 维价值和智力价值是潜在的，决不是自然形成的，也不是靠教师下达指令能创造 出来的，课堂教学中，教师应精心创设问题情景，引导启发学生积极思维，其间 应注意两个环节：①制造认知冲突——充分揭示学生的思维过程，即使新的需要 与学生原有的数学水平之间产生认知冲突。传统的教学在教师分析讨论解题时， 往往思路理想化、技巧化、脱离学生的认知规律，忽视了学生的思维活动，导致 学生一听就懂，一做即错。学生无法达到真正的连结。为此，在引导学生学习中， 为了使学生联结中，必须充分估计知识方面的缺陷和学的思维心理障碍，揭示他 们的思维过程，从反面和侧面引起学生的注意和思考，使他们在跌到处爬起来， 在认知冲突中加强联结。②稚化自身思维——充分揭示教师的思维过程。即教师 启发引导要与学生的思维同步，切不可超前引路，越俎代疱。如果教师在教学中， 对于各类问题，均能“一想即出，一做就对”，尤其是几何证明题，辅助线新手拈 来，或者把自己的解题过程直接抛给学生，使学生产生思维惰性，遇到新的问题 情景，往往束手无策。只有通过教师的多种方式的启发，稚化自身，象学生学习 新知识的过程一样展开教学，把自己认识问题的思维过程充分展示，接近学生的 认知势态，学生才能真正体会、感受到数学知识所包含的深刻的思维和丰富的智 慧。③开发解题内涵—— 充分揭示数学发展的思维过程。在引导学生学习中， 除了学生、教师的思维活动外，还存在着数学家的思维活动，即数学的发展思维 过程。这种过程与经过逻辑组织的理论体系是不同的。如果将课本内容照搬到课 堂上学生就无法领略到数学家精湛的思维过程。学生要吸取更多的营养，必须经 自身的探索去重新发现。这就需要教师帮助学生开发数学问题的内涵，努力使学 生的整理性思维方式变为探索性思维方式，有效地使学生从数学知识结构出发， 构建新的认知结构。
（3）有机渗透数学思想方法。所谓数学思想方法就是数学活动的基本观 点，它包括数学思想和数学方法。数学思想是教学思维的“软件”，是数学知识发 生过程的提炼、抽象、概括和提升，是对数学规律更一般的认识，它蕴藏在数学 知识之中，需要教师引导学生去挖掘。而挖掘的过程就是数学认知结构形成的过 程，也就是数学学习的最佳连结过程。数学方法是数学思维的“硬件”，它们是数 学知识不可分割的两部分。如字母代数思想、集合映射思想、方程思想、因果思想、递推思想、极限思想、参数思想、变换思想、分类思想等。数学方法包括一 般的科学方法——观察与实验、类比与联想、分析与综合、归纳与演绎、一般与 特殊，还有具有数学学科特点的具体方法——配方法、换元法、属性结合法、待 定系数法等等 。这就要求在数学知识教学的同时，必须注重数学思想，数学方 法的有机渗透，让学生学会对问题或现象进行分析、归纳、综合、概括和抽象等。
只有这样，才能有助于学生一个活的数学知识结构的形成。现举一例：
例：如图，在线段AB上有三个点C1，C2，C3，问图中有多少条线段？若 线段AB上有99个点，则有多少条线段？ A C1 C2 C3 B 探索分析：①如果一条一条数，这是一种思想方法；
②如果AB上有99个 点就得另辟溪径；
③假如一开始要你对后一种比较复杂的情况作出回答，就必须 回到简单情况去考虑，这就是一般到特殊、简单到复杂的数学方法，也就是“以 退求进”的变换思想；
当有1个点C1时，有线段AC1，AB， C1A，共有2+1=3条；
当有2个点C1C2时，有线段AC1，AC2，AB，C1C2，C1B，C2B，共有3+2+1=6 条；
当有3个点C1C2C3时，有线段AC1，AC2，AC3，AB，C1C2，C1C3，C1B， C2C3，C2B，C3B共有4+3+2+1=10条；
当有99个点时，共有线段100+99+98+……+3+2+1=5050条. 这里用到了重要的归纳思想。
策略之二：以学生的层次性出发，引导学生构建新的数学认知结构 一方面，认知结构总是在学生头脑中进行建构的。学生学习活动的主动性， 自觉性是建构认知结构的精神力量；
另一方面，认知结构总是不断发生变化的， 原有认知结构是构建新认知结构的基础，新认知结构是原认知结构的发展与完善。
因此教师应积极探索在课堂教学中根据学生实际按层次引导他们去构建数学认 知结构。
（1）对整体水平较高的班级集体，由于学生有较丰富的知识积累，具有 较强的形成“思维链”的能力，因而可采用快（教学节奏）、多（问题系列）、变（习题丰富多变）等思路进行教学，启发学生的思维向纵深发展，培养学生思维 的敏捷性和独创性。促进以高效快速建构。
（2）对学生基础和发展水平中等的班级集体，教师应以课本为本，按教材 本身的内在逻辑有序地组织教学，理清知识体系，形成知识网络，注意方法指导， 培养学生自学能力和应用知识解决实际问题的能力。
（3）对整体水平较低的班级集体，重在考虑以下策略：①采用“小步子”方 式循序渐进，经常“回头观望”，调整教学进度和内容的难易度以符合学生认知结 构；
②尽可能多地利用多种手段（例如：形象生动的语言或多种教学媒体的辅助） 激发学生学习兴趣，启发学生思维；
③对学生因新旧知识衔接不良难以迁移时， 及时制定有针对性的复习对策，通过提问、书面作业、补充辅导等帮助学生过渡， 以取得整体水平的提高。现举一例课堂实录片段，特别适用数学整体水平较低的 的学生：
例：课题——无理数。学生学了有理数后，不能有效地容纳无理数概念， 即学生用“同化”的过程形成新概念，只能通过“顺应”的过程达到无理数概念的形 成。对于基础较差的班级学生，若直接用“无尽不循环小数叫无理数”死灌，感到 抽象，学生难以理解。我们不妨用形象生动的教学情景，从感知着手：教师上课 进教室，手拿一个骰子。上课开始，教师问学生：“这是一件什么东西？” 学生 感到诧异：“老师怎么把赌具拿到教师里来，这不是搓麻将用的吗！”引起学生一 片好奇心。接着教师把一位同学请到讲台前进行抛骰子，教师作好记录，黑板上 跳出一串数：
2.25361554261……，这时，教师问学生：“无尽的投下去，结果 出现的数能循环出现吗？” 由于这是学生直接感知到的，又贴近实际，学生很自 然地得出了无理数的概念。这是一种巧妙的联结，是行之有效的策略。
总之，从数学知识结构本身不同层次学生来说，创设联结的“最近发展区”， 引导他们乐于构建新的认知结构这一导向策略，体现了因材施教，因人施教的原 则。
策略之三：以学生发展为目标，使学生自主地构建新的数学认知结构 根据数学认知结构来构思教学策略较好地解决了知识与能力的关系，但是， 教学的根本问题乃是人的问题。面向二十一世纪的中学数学教师应该看到：学生 的学习主要不只是为适应当前的环境，而是为适应今后发展的需要。从当前看， 学生的学习容易成为一个被动的接受过程；
从未来看，他们的学习又有待于发展 到完全独立而主动的自学阶段，因些，数学课堂教学的重点是要培养起独立积极 学习的态度和自我教育，自我发展的自主的、能动的、创造性的能力。数学认知结构的建立，最后归根到底，不是依赖教师去建构，更不是简单的联结，而是要 求学生离开教师后，能自己主动地建构。因此以“人的发展”为主题，进行中学数 学课堂教学策略的探讨和构思是一种趋势。
“人的发展”是课堂教学的出发点和归宿，而课堂教学如何促进人的发展 呢？必须以培养学生独立学习的能力为突破口，独立学习的实质是强调学生的独 立思考。传统的教学模式是先教后学，即课堂教学在先，学生复习作业在后。然 而独立学习将这种天经地义的教学关系（或顺序）颠倒过来，先学后教，即学生 首先必须独立学习，然后再进行课堂教学。在课堂教学中应着重解决学生在独立 学习中遇到的问题。中央教科所卢仲衡先生倡导的数学自学法、北京师范大学裴 娣娜教授的自主发展性教学、上海华东师范大学叶澜教授的“自主教学”、江苏特 级教师邱学华先生的尝试教学法、江苏洋思中学的“先练后学”教学模式等等，不 失为使学生自觉构建新的认知结构的有效连结途径。因此，此时的课堂教学是在 独立学习的基础上进行，其教学策略则应侧重在以下几个方面：①通过检查阅读 笔记和作业本以及课堂小测验或提问来了解学生独立学习的情况；
②反映和解决 学生独立学习中存在的主要问题。关键在于教师在引导学生对存在的问题进行分 析归类，将大部分问题在分析过程中得以解决，小部分问题则通过质疑，讨论来 解决；
③教师应充分寻找学生思维的闪光点，让学生充分表现，鼓励学生大胆发 表自己的独立见解。同时教师留心寻找学生的创见，作为深化课堂教学的契机， 使全班同学共同受益。④小结引导学生对本节内容进行小结，要求学生按照自己 的思路的方法把小结内容记入阅读笔记。
初看起来，强调学生的独立学习，似乎教师的教学任务轻了。其实不然， 在独立学习基础上所进行的课堂教学是一种高水平的教学。就学生而言，课堂上 充满求知欲（问题意识）和表现欲（参与意识），课堂教学因此具有了永恒的内 在动力。就教师而言，教学再也不能只停留在传授知识的层面上，而须在发现问 题、启发思维、培养悟性上下功夫。它客观地要求教师不断地超越学生、超越一 般的教学、超越自我，从而真正达到了教学相长的目的。根据教学目标包括知识、 情感及技能目标来构思教学策略是提高课堂教学效益的有效方法，但从更深层次 来说构思教学策略还应更注重培养学生的能力，这就要求从认知结构的角度，从 数学思维规律的培养及数学思想方法的渗透来构思教学策略，使学生在有限的中 学学习中从“学会”变会“会学”。同时还应掌握“独立学习”能力，使学校成为从“终 结教育”转向“终身教育”的场所，因此从教育发展人的功能的角度来分析，设计 数学认知结构的形成的联结策略是一种趋势。教学活动是一项创造性的活动，合理的课堂教学策略是一种科学的导向， 对于提高数学课堂教学效益，培养学生能力，全面地促进学生和谐的、创造性的 发展有着极其重要的作用。合理的教学策略的选择是一项艺术，这一艺术将使学 生的数学学习成为有意义的联结，焕发出学习生命的活力。