均值不等式的巧用
均值不等式的巧用 均值不等式的巧用 陵水中学 李莎 在教学实践中,我们发现均值不等式是求解函数的最值问题和证明不等式 问题的重要工具。现举例介绍如下：运用均值不等式求函数最值问题时，应特别注意"一正、二定、三相等"。
例1 若a是1+2b与1-2b的等比中项，则 的最大值为（ ） 分析 由题意知 ，注意到若 取最大值，a、b必同号，不妨设a、b均为正 数，则将问题转化为 a0，b0，且 ，求 的最大值。
由 ，知 而 ，当且仅当a=b，且 即 ， 时， 取得最大值 。
例2 求二元函数 （x，y0）的最大值。
解：∵4 = ， ∴ 所以函数 的最大值为5，当且仅当 时取得。
例3 ΔABC的三边a、b、c依次成等比数列，求角B的取值范围。
分析 在 中，注意到分式的积，我们把 化为" "即可求出最值。
解：∵ ∴ 又∵B ，∴例4 用长为 的铁丝围成直角三角形的三边，求直角三角形的最大面积。
分析 设直角边长分别为x，y（x，y0），面积为S，则 ① 又S= ，注意到求积的最值，我们把①式中的 和 分别化为" "和" "即可巧 妙求出最值。
解：∵ ∴ 所以S的最大值为 ，当且仅当 即等腰直角三角形时取得。
运用均值不等式证明不等式时，常常需要根据不等式的结构特征，配以适 当的技巧，方能如愿。
例5 设a、b、c各为不相等的正数，求证：
分析 所证不等式两边均为和的形式，且项数相同，则可考虑采用两两结 合再叠加的方法。
证明：∵ ∴2（ ）2（ ） ∴ 例6 设a、b、c ，求证：
（a+b)(b+c)(c+a) 8abc 分析 所证不等式的两边都是积的形式，且项数相同，则可考虑采用两两 结合再叠乘的方法。
证明：∵a、b、c ∴ 以上三个不等式两边分别相乘，便得 （a+b)(b+c)(c+a) 8abc例7 已知a2，求证：
1 分析 所证的不等式是积小于一个常数，则可考虑逆用均值不等式。
证明：∵a2 ∴ 0， 0 ∴ = =1 例8 设a、b 且a+b=1，求证：
分析 所证不等式左边是和的形式，若顺用均值不等式，则不但不能利用 已知条件配凑，而且不等号方向也与所证相反。平方后，由于能产生积的形式， 给利用"和是定值"创造条件，且不等号方向也与所证相同。
证明：∴a、b 且a+b=1 ∴（ ） =2（a+b)+2+2 =4+2 ∴ 从以上堵例可以看出，用均值不等式解决问题时，需仔细审题，认准特征， 对症下药。