摘要 线性规划模型，这个模型的最优值刻画了合理安排保费资金的投资期限所能够达到的最大保险支付水平，从而给出了多，这些性质说明在满足保险支出的条件下，利率较大）的投资。对于典型的寿险产品模型，针对两个具体实例列出了计算结果。结果表明，在保险费率的计算中，起主要作用的是最大期限的利率，其次是不同利率的一个综合水平。
1 引言
存在最优解 ，对于它的任意两个基变量 和 ，如果 ，则有 。
时间 的收入首先支付时间 的支出，如果有盈余，则支付时间 的支出，如果有亏缺，则亏缺部分由时间 的收入来支出；最后时间 的收入支付 时刻的支出，如果有盈余，则支付 时刻的支出，如果有亏缺，则亏缺部分由 时刻的收入来支出。准确地说，最优解的基变量是， 取遍从 到 的每一个值， 取遍从 到 的每一个值。
我们能够清楚地描述最优解的结构，即下列推论：
系3.1 存在最优解是的基变量，并且有：
(1) 取遍从 到 的每一个值， 取遍从 到 的每一个值；
(2) 取遍从 到 中的每一个值， 取遍从 到 的每一个值。
因而我们可以利用二分搜索法来计算最优值而无需求解线性规划问题。
4 多利率下的寿险定价
现在我们来考虑一般情况下的寿险定价模型。假设有一大群相同的保单，时刻 表示保单签发的时间， 为保单的终止时间。保险人在时间 的期望保险费收入为，当保险金额等于一个单位时，保险人按照保险合同在时间 所要支付的期望保险金为。为简单起见，在本文中不考虑附加保险费用。按照收支相等的原则，可以假设保险支出的资金全部来源于保费的收入及其投资利息，我们考虑下列线性规划问题：
变量 表示在时间 的保险收入中将用于支付时间 的保险金支出的数量，由于时间 收入的资金数 在 时刻所能得到的最大本利和是 ，所以上述问题准确地刻画了通过合理配置保险收入（由 表示））的投资期限（由 表示）能够使保险金支出水平（用 表示）达到最大。而这个线性规划问题的最优值，则给出了多利率条件下保险费率的计算依据。
不失一般性，假设 ，令
5 应用分析
在本节中我们将给出两个具体实例的计算结果，其中生命表均参照美国1979—1981全体人口生命表。假设最大利率期限为5年（ ），其利率（复利）分别如下表所示：
表5-1 假设的利率期限结构表
第一个例子是终身生存年金，保费缴付方式是年缴（等额），年金支付形式是每年领取（等额），并且有十年固定年金。
，共缴付 年。如果用时间1表示第一次缴费的时间（岁），那么在岁时生存者人在时间 所缴付的保险费为。由于 一般不是 的倍数，所以我们将初始时间前移，
从岁开始，生存者每年领取生存年金（具有十年固定年金），那么当年金金额为1个单位时期望的年金支出为： 上式中 表示的是生命表中的极限年龄。
通过计算我们发现上述结果基本上与以最大期限的利率（本例中是5%）作为单一预定利率所计算出来的相同。原因是保险期比较长。因此在生存年金的费率计算中，最大期限的利率起到了主要的作用，也就是说，资金的运用应该以利率最高的长期投资为主。
第二个例子是定期人寿保险，保费缴付方式也是年缴（等额），保险金即刻赔付。为了简单起见，我们假设保险期 是 的倍数，保险资金在一年之内是不计利息的（即最小计息期限是一年）。
设年龄为岁者人，每人都投保 年期人寿保险，每年年初缴付保险费为，
年缴纯保费1个单位时的最大保险金额表。与第一个例子有区别的是，由于有一定的变化，因此最大保险金额小于单一年预定利率5%所计算出来的结果，但是随着保险期的增大，其差距越来越小。
结语
在本文中，我们应用线性优化的方法解决了在多利率条件下寿险费率的定价问题。表明了这么一个事实，如果长期利率高于短期利率，那么保险收入资金的运用在满足保险支出的情况下应该优先考虑期限较大（也就是利率较大）的投资，因而在保险费率的计算中，起主要作用的是最大期限的利率，其次是不同利率的一个综合水平。
参考文献
[1]王波. 线性优化在寿险精算中的应用[D]. 杭州：浙江大学，2010.