常微分方程课程改革探索
常微分方程课程改革探索 ［摘要］多数高校在常微分方程的课程设置和教学方式上都存在着一些的问题: 教学内容过于注重理论，轻视实际应用;授课形式单一，学生的主体地位难以体现;课程考核方式简单，难以衡量学生实际能力。在创新创业背景下，高校可以从以 下方面改革常微分方程课程，提高学生学习积极性、主观能动性以及创新意识和 能力:改进传统教学方法，提高学生逆向思维能力;优化教材体系，注重应用性教 学;注重能力评价，科学考核学生学习。
［关键词］常微分方程;教学改革;创新创业能力 数学是在生产实践中逐渐发展起来的科学。随着学科的细化，数学也演变 出各个科目。常微分方程作为高等数学中的一门学科，它的形成与发展是与力学、 天文学、物理学以及其他科学技术的发展密切相关的。这也决定了这门学科的实 用性。尤其是近年来国家大力推进培养大学生的“创新创业”能力，督促着高校转 型发展。学校对于培养目标与培养计划的改变，也必然带动各门课程教育的改革。
因此，课题组在以“培养具有创新创业意识和创新创业能力的高素质人才”为目标 的前提下，从“要为学生提供怎样的教育经验”“如何有效组织这些教育经验”“如 何确定这个目标正在得以实现”［1］等问题着手，不断加大改革力度，加强师资 队伍建设，提高教学、科研水平，开展一系列的理论研究和实践。
一、课程改革的必要性 “常微分方程”是一门数学基础课程，内容涉及数学分析、高等代数课程中 的知识点。天文学、生物学、控制论、物理学、流体力学等许多近代学科中的大 量问题都可以利用常微分方程来分析和处理。作为一门应用性很强的基础课程， “常微分方程”的教学应该突出应用特色，重点培养学生利用所学知识发现、分析 和解决实际问题的能力。然而，经项目组了解，大部分高校在常微分方程的课程 设置和教学方式上存在严重的问题，具体主要体现在以下几个方面［2，3］:(一) 教学内容过于注重理论，轻视实际应用。在教学中，大多数教师把时间花在提高 学生求解常微分方程运算能力与技巧方面，而在定性分析理论以及实践应用上提 及不多，较少使用教学案例，没有充分将数学建模思想以及学科的前沿知识渗透 到教学中。这样的授课内容难以培养学生独立思考、动手解决问题的能力，无法 满足现今社会的发展需求。事实上，常微分方程在很多学科领域内有重要的应用。
比如，在现代控制理论中，机器人、倒立摆、飞行器等实际系统在建模的时候都 可以归结成带有控制输入的微分系统，通过设计合理的控制器，保证闭环系统稳定运行，还有对自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞 行的稳定性的研究，对化学反应过程稳定性的研究等，这些问题都可以化为求常 微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。理论与实际的结合，有助于常微 分方程课程的学习，提升学生的学习积极性，加强学生的创新意识和创新能力。
(二)授课形式单一，学生的主体地位难以体现。教师尤其是数学类课程的教师， 在课堂授课中仍然以黑板加粉笔的形式为主，虽然也有教师采用计算机、多媒体 等辅助教学手段，但是使用方法单一，多半是将板书内容转移到PPT上播放，并 没有改变“教师在上面讲，学生在下面听”的灌输式教学模式，没能让学生积极主 动地参与到课堂教学中，缺少教与学的双边互动。这样的课堂教学现状显然没有 贯彻以学生为中心的教育理念。对于像常微分方程这种应用性较强的课程，如果 学生缺乏积极主动的参与、配合，是很难掌握课程中的应用思想的。单纯的理论 学习效果并不理想，无法达到创新创业人才的目标，同时，培养计划中课时的压 缩也是影响授课效果的一个重要原因。因此，如何在现有课时下让学生既能打下 扎实的理论基础，又能动手实践、应用所学理论解决实际问题是课题组需要解决 的首要问题。(三)课程考核方式简单，难以衡量学生实际能力。现在高校加强了 教学过程的管理，不再将期末考试的卷面成绩作为最终成绩，而是将期末的卷面 成绩和平时成绩按照8∶2或者7∶3的比例计算总成绩，避免了由一次考试、一张 卷子来评定整个学期学习情况的不合理现象，提高了教学过程考核的合理性。但 是，学生的主观能动性不够，对理论学习有排斥情绪，使得大部分学生卷面成绩 偏低。学生的平时成绩往往是由学生的出勤率和作业完成情况决定的，然而，实 际上，来上课的学生未必听懂了、学会了，作业也无法确定是不是学生自己独立 完成的，其结果难免形式化，导致平时成绩在实际操作过程中变为了调节及格率 的工具，无法对学生的实践和创新能力加以评价，而这却是衡量学生能力的一个 很重要的标准。
二、课程改革实践 针对上述教学弊端，课题组从改变教学方法、优化教材体系和改革考核模 式这三个方面入手，有针对性地改变学生的学习现状，提高学生的学习能力，激 发学生的创新创业思维，为后续的培养做好充足的准备。(一)改进传统教学方法， 提高学生逆向思维能力。现阶段的授课方式以大班授课为主，教师在讲台上讲解， 学生在下面听，这种模式中，教师和学生的互动必然不多，教师无法很好地把握 学生的数学基础学习状态，无法根据学生具体情况开展有针对性的教学，如此， 学生更难以建立起各门课程之间的联系。为解决这一问题，课题组将大班改为小 班授课，对学生开展启发式教学，加强课堂提问，提高教学内容的针对性、灵活性和后继性;鼓励学生独立思考，将所学的定理运用到实际中，并能有所创新。
比如，在常微分方程课程中，给定微分方程，要求学生求其通解或特解。在授课 之初，教师一般都会讲解常数变异法和积分因子法，这些都是古典而有效的方法， 能够运用到一阶线性微分方程、全微分方程、高阶线性微分方程和线性方程组中。
引导学生在已有的知识基础上探索新的方法是启发式教学的一个非常好的切入 点。在授课过程中，教师要尽可能多地反映常微分方程在其他学科中的渗透与应 用，以实际问题作为出发点和着眼点，尽可能减少枯燥、烦琐、不必要的理论推 导，提高学生的学习兴趣。授课教师应加强课堂互动，针对已学知识(不局限于 本门课程，可以是其他课程中的相关知识)进行提问，以温故知新;鼓励学生积极 思考，提出问题，在内化知识的同时提高自身思维能力。教师要引导学生跳出旧 有的框架模式，加强思维深度的同时拓展思维广度。比如，我们在学习常微分方 程求解部分，基本就是固定的几大类方程，有相应的解法，而实际生活中，我们 所用的大部分方程是无法求解的。在课堂上，教师可以让学生列举一些不能求解 的方程反例等，以这样的方式深化学生对概念的理解，让学生能够活学活用，以 促进创新型人才的培养。(二)优化教材体系，注重应用性教学。一直以来，我国 的大部分大学课堂上使用的常微分教材都是偏重理论的。经典的知识框架在理论 教学方面优势明显，但是缺点也显而易见，即理论联系实际不足。国外的一些教 材中，理论知识联系实际的例子较多。通过大量的实例教学，学生应用能力能够 得到提高。课题组成员根据我校培养应用型复合人才的教学目标，重建教材框架， 编写了一本偏重应用的教科书。这本教材在基础实用的原则上，淡化理论性过强 的证明，其知识体系系统化、简单化，使学生宜学易懂，这样，也缩短了教师讲 授理论知识的时间，为在课堂上引入数学建模相关知识提供了基础。众所周知， 数学建模在培养学生学习欲望、自学能力、从事科研工作的初步能力以及团结协 作的精神等方面都有非常大的促进作用。因此，新教材在最后一章介绍了数学建 模的一些相关知识，并且给出了很多与常微分方程有关的例题和习题，让学生可 以了解如何将一个个实际问题转化成熟悉的数学问题过程，并且可以在教师的引 导下自己动手解决问题，这可以让学生获得学习的乐趣，增强数学素质，提高他 们分析问题和解决问题的创新能力。考虑到每个班级的学生学习能力与兴趣都各 不相同，教师在培养学生实际应用能力的同时，也考虑到有一部分学生在科研方 面的兴趣与潜力。这一部分的学生一般学习成绩优异，对数学兴趣浓厚，有较强 的考研欲望，希望能够接触到一些更深层次的东西。因此，在掌握本门课程基本 内容的基础上，授课教师应适时、适当地介绍一些本学科的前沿知识，也可以以 少量课时或者学术讲座对偏微分方程进行简单介绍，［4］让学生了解未来的学 习方向，让这门课程的结束成为其深入研究的开始，引领他们在这一方向继续前行，为他们未来考试或学术研究打好基础。(三)注重能力评价，科学考核学生学 习。传统考试无法体现学生的时间能力和创新意识，因此，课题组对本门课程的 期末考试评价方法也进行了改革。虽然以往也有能力评价部分，但是考查的项目 与方式并不明确，授课教师在实践过程中难以操作。为了更好地体现素质教育， 让学生在实践与创新中发挥自己的潜力，课题组制定了详细的能力考查方案。具 体方案如下:总成绩=期末考试卷面成绩×50%+平时成绩×50%，其中平时成绩由 五部分组成:(1)课后作业10分;(2)出勤率5分;(3)平时小测验15分;(4)课后提高10 分;(5)课堂互动5分。平时小测验和课后提高两部分所占比重较大，也是考试改革 最重要的部分。平时小测验部分分别就一阶常微分方程的初等解法、高阶常微分 方程的求解以及常微分方程的一般理论与定性分析进行测验，根据学生对这部分 知识点的掌握程度来评定成绩。在相关章节内容讲授完之后，教师带领学生复习 一遍基础知识，然后进行测验。由于主要是考查学生的学习能力和掌握程度，我 们对于记忆类的东西不作要求，因此采用开卷的形式，学生可以查阅自己的学习 资料然后答题。这样既能避免频繁的测验给学生带来的过大压力，又能起到督促 学生学习的作用。课后提高部分主要采取小论文的形式。在常微分方程课程每一 章的学习过程中，授课教师将一些具有拓展性和创新性的问题留给学生，鼓励学 生积极思考，引导学生自学Matlab或Mathematica等数学软件来验证一些推导结果 和方程的数值解。这样提高了学生的实践能力、查阅文献资料的能力，培养了学 生开展科研、积极创新的精神，同时，最终形成的小论文也锻炼了学生的总结和 论文撰写能力，对学生的综合能力提升也有明显的带动作用。
总之，课题组实施教学改革的目的是希望能够找到一个全新的常微分方程 教学模式和课程体系，将更贴近当下学生实际的教学理念、教学方法和考核方式 有机结合在一起，形成一个培养学生创新能力的教学体系。新时代下，我国的高 等教育领域课程与教学改革仍然处在深化调整之中，很多教学改革的想法与设计 都非常不错，可是仍然会出现“教改十年，基本失败”的可悲论调。究其缘由，关 键是没有将课程设计的“美好蓝图”、计划、框架和方案更好地运用到课堂之中， 并通过课堂情境中的教师与学生共同“演绎”来发挥其真正的功能。课题组为了避 免出现“课改虽好，课堂依旧”“穿新鞋走老路”［5］等现象，对教学过程和考核 过程做了详细的实施方案，群策群力，边实践边完善。经过几轮的授课实践证明， 我们的教学改革在培养学生创新能力，提高学生的学习兴趣与能动性方面确实产 生了相当不错的效果，课堂状态良好，教师也很满意并能积极推进。相信通过本 门课程的教学体系改革的探索，对本学科的其他课程改革也能起到一定的推动作 用。作者:洪丽莉 何希勤 单位:辽宁科技大学理学院