试探竞赛数学的产生和发展
试探竞赛数学的产生和发展 试探竞赛数学的产生和发展 内容摘要：随着数学竞赛的发展，已逐渐形成一门特殊的数学学科-竞赛 数学，也可称为奥林匹克数学。将高等数学下放到初等数学中去，用初等数学的 语言来表述高等数学的问题，并用初等数学方法来解决这些问题，这就是竞赛数 学的任务。这里的问题甚至解法的背景往往来源于某些高等数学。数学就其方法 而言，大体上可以分成分析与代数，即连续数学与离散数学。由于目前微积分不 属于国际数学奥林匹克的范围，所以下放离散数学就是竞赛数学的主体。很多国 际数学奥林匹克的试题来自数沦、组合分析、近世代数、组合几何、函数方程等。当然也包含中学课程中的平面几何。
关键词：数学竞赛，竞赛数学，产生，发展 一，数学竞赛的产生 由于竞赛数学是伴随着数学竞赛而产生的，因此，谈到竞赛数学的产生我 们先要探究一下数学竞赛 1，数学竞赛的简史 数学竞赛与体育竞赛相类似，它是青少年的一种智力竞赛，所以苏联 人首创了"数学奥林匹克"这个名词。在类似的以基础科学为竞赛内容的智力竞赛 中，数学竞赛历史最悠久，参赛国最多，影响也最大。比较正规的数学竞赛是1894 年在匈牙利开始的，除因两次世界大战及1956年事件而停止了7届外，迄今已举 行过90多届。苏联的数学竞赛开始于1934年，美国的数学竞赛则是1938年开始的。
这两个国家除第二次世界大战期间各停止了3年外，均己举行过50多届，其他有 长久数学竞赛历史的国家是罗马尼亚（始于1902年）、保加利亚（始于1949年） 和中国（始于1956年）。
2，数学竞赛的发展 数学竞赛活动是由个别城市，向整个国家，再向全世界逐步发展起来 的。例如苏联的数学竞赛就是先从列宁格勒和莫斯科开始，至1962年拓展至全国 的，美国则是到1957年才有全国性的数学竞赛的。数学竞赛活动也是由浅入深逐步发展的。几乎每个国家的数学竞赛活 动都是先由一些著名数学家出面提倡组织，试题与中学课本中的习题很接近，然 后逐渐深入，并有一些数学家花比较多的精力从事选题及竞赛组织工作，这时的 试题逐渐脱离中学课本范围，当然仍要求用初等数学语言陈述试题并可以用初等 数学方法求解。例如苏联数学竞赛之初，著名数学家柯尔莫哥洛夫、亚历山大洛 夫、狄隆涅等都参与过这一工作。在美国，则有著名数学家伯克霍夫父子、波利 亚、卡普兰斯基等参与过这项工作。
国际数学奥林匹克开始举办后，参赛各国的备赛工作往往主要是对选 手进行一次强化培训，以拓广他们的知识，提高他们的解题能力。这种培训课程 是很难的，比中学数学深了很多。这时就需要少数数学家专门从事这项活动。
3，数学竞赛的作用 （1）选拔出有数学才能的青少年。由于数学竞赛是在层层竞赛，水 平逐步加深的考核基础上选拔出优胜者，优胜者既要有踏实广泛的数学基础，又 要有灵活机智的头脑和富于创造性的才能，所以他们往往是既刻苦努力又很聪明 的青少年。这些人将来成才的概率是很大的。数学竞赛活动受到愈来愈多国家的 注意，在世界上发展得那么快的重要原因之一就在于此。在匈牙利，著名数学家 费叶、黎茨、舍贵、寇尼希、哈尔、拉多等部曾是数学竞赛的优胜者。
（2）激发了青少年学习数学的兴趣。数学在一切自然科学、社会科 学和现代化管理等方面都愈来愈显得重要和必不可少。由于电子计算机的发展， 各门科学更趋于深入和成熟，由定性研究进入定量研究。因此青少年学好数学对 于他们将来学好一切科学，几乎都是必要的。数学竞赛将健康的竞争机制引进青 少年的数学学习中，将激发他们的上进心，激发他们的创造性思维。
（3）培养数学学习的兴趣，展现数学美。教科书上的数学是“大众数学”， 是对学生的基本要求。而数学竞赛所研究的问题从机构到解法都具有艺术魅力， 它诱导学生开动脑筋去亲身体验数学思想的智慧光芒，从而思维能力在不断的训 练中提高，兴趣在不断地创造中提升，对数学美的感受也越来越深刻。
数学不仅是一门科学，一门艺术，也是一门文化。而中学教材所提供的只 是历史的数学，数学竞赛却可以将今天的数学展示出来，将现代思想和高等背景 的“活数学”传播进中学。随着现代数学的发展，数学竞赛的内容和思想方法也在 不断的发展。这样就势必会把数学竞赛作为一种学科来研究学习，这样便有了今天的竞赛数学这一特殊的数学学科。
二、竞赛数学的发展 “竞赛数学”是随着高等师范院校数学教育课程的发展而产生的一门新课 程。课程涉及数学竞赛的内容、思想和方法；
也涉及到数学竞赛教育和数学课外 教育的本质、方法、规律和途径的问题；
课外学习与课堂学习的关系问题；
辅导 教师的进修和提高的问题。课程以数学竞赛所涉及的主要内容：数论、代数、几 何及组合数学为载体，尤其注重数学思想和方法的探究，以提高学生的数学素养 为目标。
竞赛数学又不同于上述这些数学领域。通常数学往往追求证明一些概 括广泛的定理，而竞赛数学恰恰寻求一些特殊的问题，通常数学追求建立一般的 理论和方法，而竞赛数学则追求用特殊方法来解决特殊问题；
而且一旦某个问题 面世，即成为陈题，又需继续创造新的问题。竞赛数学属于"硬"数学范畴，它通 常也与纯粹数学一样，以其内在美，包括问题的简练和解法的巧妙，作为衡量其 价值的重要标准。
竞赛数学不能脱离现有数学分支而独立发展，否则就成了无源之水， 所以它往往由某些领域的专家兼搞，如参加国际数学奥林匹克的中国代表团的出 色教练单樽，就是一位数论专家。
国际数学奥林匹克的精神是鼓励用巧妙的初等数学方法来解题，但并 不排斥高等数学方法和定理的使用。例如在第31届国际数学奥林匹克中，有学生 在解题时用到了贝特朗假设，也称车比雪夫定理，即当n大于1时，在n和2n之间 必定有一个素数，还有人在解题时用到了谢尔宾斯塞定理，即一个平方数表成s 个平方数之和的通解形式。这些定理须在华罗庚所著的《数论导引》（大学数学 系研究生教本）或更专门的书中才能找到。这样不仅已是"杀鸡用牛刀"，而且按 某外国教练的说法，"他们在用原子弹炸蚊子，但蚊于被炸死了！"这样做是允许 的，但不是国际数学奥林匹克所鼓励的。
国际数学奥林匹克的一个难试题，经简化后的证明要写三四页，这不仅大 大超过中学课本的深度，也不低于大学数学系一般课程的深度，当然不包括大学 课程的广度。实际上，大学数学系课程中，一条定理的证明长达3页者并不多。
一个好试题的解答，大体上相当于一篇有趣的短论文。因此用这些问题来考核青 少年的数学素质是相当科学的。它们的解决需要参赛者有相当宽广的数学基础知识，再加上机智和创造性。这与单纯的智力小测验完全不同。国际上的数学竞赛 范围，大体上从小学四年级到大学二年级。小学生因基础知识太少，这期间的所 谓数学竞赛，其实是智力小测验型。对大学生应强调系统学习，要求对数学有一 个整体了解。因此数学竞赛的重点应是中学，特别是高中。现在已经积累了丰富 的数学竞赛题库，可供中学师生和数学爱好者练习。国际上也已经有了竞赛数学 的专门杂志。
奥林匹克数学教育水平的提高关键是教练员的培养和提高，师范院校的数 学教育工作者们注意到了这个问题．1993年3月在重庆召开的中国数学会第七次 普及工作会议暨数学奥林匹克研讨会期间，华中师范大学的陈传理先生和东北师 大的张同君先生向我提出了组织建设高师院校竞赛数学教材的设想，正符合我多 年来正在思索的问题，因此，我积极支持他们尽快去进行这项建设工程，编写一 套高质量的反映我国数学竞赛教育水平的《竞赛数学教程》．经过一年多的筹备， 全国十五所高师院校教材协编组成立，并于1994年6月在武汉召开了工作会议， 会上交流了各校开设竞赛数学课程的经验，试用教材和讲义．经过充分讨论，在 教材编写的主要方面取得了一致性意见．认为这套教材应当编写成既有较强的理 论性、学术性，能够反映学科前沿进展水平，同时还应顺应我国教育的国情，具 有普遍的适用性；
起点要适中，内容深入浅出，层次清晰，以利于系统地展现出 竞赛数学的基础理论、思想和方法，以及数学竞赛的解题技巧．作为师范教材， 还应包含教学法的要求．通过本教材的讲授，开拓发展学生的思维能力与探究问 题的能力，使他们走上工作岗位后，能够胜任中学数学课外教育的教练工作．与 会者还认为，《竞赛数学教程》这套教材与高9币院校开设的初等数学研究、数 学教育学、组合数学以及数论等课程有交叉内容，要注意它们之间的联系与区 别；
另外，竞赛数学有着极其丰富的资源，在编写教材时取材必须精选，充分体 现课程的特色，绝不能成为"拚盘"． 从数学竞赛的历史来看，数学问题的产生和发展总是包含着数学方法的产 生、积累和发展．数学思想方法是人类在数学发展的进程中积累起来的宝贵精神 财富。深入开展对数学思想方法的研究和总结，并探讨其在数学问题解决中的运 用，对于促进学生数学智力的开发，数学素养的提高，具有十分重要的意义。
在中学数学教育中明确地将数学内容中所反映出来的数学思想和方法列 入数学的基础知识范围。数学思想方法作为竞赛数学知识内容的精髓，在教育中 对于完善人的个性品质：文化素养、思维素养、心理素养，培养和发展人的各种 能力方面，有着潜移默化的、深刻的影响。因此，改革传统的数学教学内容、教学形式、教学方法，突出数学思想方 法的运用，强调探索数学问题的思维能力的培养，鼓励学生的创新意识，是竞赛 数学学科的重要任务和教育目的。