浅谈数学解题能力的培养
浅谈数学解题能力的培养 摘要：学生数学解题能力并非通过传授获得的，而是通过培养而逐步发展 的。它是一项复杂的系统工程。本文从“教”、“学”、“思”三方面阐述了数学教学 中如何有效地培养学生解题能力的问题。关键词：数学 解题能力 培养 “问题”是数学的心脏，数学学习的优劣，集中表现在解题能力上。我国中 学数学教学素有重视“双基”的优良传统，许多教师都在解题教学方面积累了丰富 的经验。但在传统的教学模式下，师生大多难以摆脱“题海战术”的巢臼，学生以 数学为首当其冲的过重课业负担已成为社会关注的焦点。对于这种大量解题训练 的效果到底如何？学生在解题时的思维状况又是怎样？怎样才能提高数学解题 能力？怎样实现数学作业的“减负”与“增效”？这一系列问题虽然早就引起许多 教师的注意，也取得一些零散经验，但却远远没有得到系统的解决。
而今，我国中学数学教育正面临一场深刻的变革，其核心思想是从“以传 授知识为本”转变为“以人的发展为本”。所以，如何培养提高中学生数学解题能 力，并进而使之演化为人的持续发展能力，就变得比任何时候都意义深远。
任教以来，在培养和提高学生解题能力方面，我进行了一些初步的探索。
九年制义务教育中，由于受应试教育的影响和一些传统观念的束缚，解题 教学，往往仅侧重于学习现成的知识、结论、技巧、方法，忽视了数学学科的基 本精神、基本特征。因而在数学学习方面所表现出来的思维缺陷具有一定的代表 性。就每一次的数学测试而言，学生对于一些按部就班、有固定解题模式和记忆 性操作程序的算法型试题就会考得普遍不错。而对于没有固定模式，无须死记硬 背，也无法在短时间内准备好所有的解答方法，运算量一般较小，思维容量却大 的思辨型试题却败下阵来。
是什么原因造成了学生“解题技能”和“解题智能”发展不均衡？这恐怕要 涉及“教”、“学”、“思”三方面的原因。
一、就“教”而言 解题教学的本质是“思维过程”，受年龄等因素的限制，学生思维发展有其 特定的规律，这需要解题教学遵循学生认知特点，设置最近发展区，进行有针对性的训练。
在平时的课堂教学中，我非常重视例题的典范作用。因为现在学生的解题 仍较依赖例题的解题模式、思路和步骤，从而实现解题的类化。记得在教第四册 的《梯形》这部分内容的一节复习课中，我只讲了一道例题：
E 如图，梯形ABCD中，AB∥CD， 以AD、AC为边作平行四边形ACED， D C F 延长DC交EB于F，求证：EF=FB。
A B 通过分析、讨论，进行一题多解，总共概括了8种解法，这8种证明方法将 梯形问题中重要辅助线添法、中位线的知识等都囊括其中。
可见，一道好例题的教学，对学生思维品质和解题能力的提高有着积极的 促进作用。
而且在讲解例题的过程中，我也坚持不懈地对学生进行数学思想的培养， 并注意与实际联系，收到了较好的效果。
比如像函数部分有这么一道题：
已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3,0)，则a+b+c的值（ ） A、等于0 B、等于1 C、等于-1 D、不能确定 此题若从数上考虑，可得 =2，9a+3b+c=0， 用含a的代数式表示b、c后，代入求解。但若 y 利用函数图象，非常容易发现（3，0）关于对称 即得a+b+c=0。
1 3 可见，数形结合思想是一种重要数学思想，不仅达到事半功倍的效果，还 可激发学生学习数学的兴趣。现实生活中，我们在解决问题时，常说的一句话：
多动脑筋，用较少的钱做更多的事，不正是这个思想的真实写照吗？当然，在分析、讲题的过程中，我也不忘暴露自己在解题过程中的思维过 程。“为什么要这样做”、”怎么想到的”， 这些问题是学生最感困难的。所以我 就尽可能地将自身或者前人是如何看待问题、又是如何找出解决问题的办法这一 思维进程展示给学生，帮助他们认识和理解知识发生和发展的必然的因果关系， 从中领悟到分析、思考和解决问题的思想方法和步骤，而且在适当时机，我也会 展示自己思维受阻、失败的探索过程，分析其原因，从反面衬托正确思路的必要 性与合理性，给学生以启示。
二、就“学”而言 学生提高解题能力的两条主渠道：一是听课学习、二是解题实践 学生在听课的过程中，确有一部分同学重“结论”胜于“过程”，重“程序”胜 于“意义”，对老师精心设计的“知识生长过程”、“结论发生过程”袖手旁观，丝毫 没有投身其间、勇于探索的热情，眼巴巴地等待“结论”的出现、“程序”的发生， 久而久之，势必造成数学思维的程序化，丧失钻研问题与解决问题的思维锐气， 最后只有对见过的题型可以“照猫画虎”，对不熟悉的题型则一筹莫展，消极地等 待“外援”。
在解题时，学生多数为完成作业而“疲于奔命”，缺乏解题前的深刻理解题 意和解题后的检验回顾，这种急功近利式的解题方式，造成了数学作业量虽大但 效益低下。更有甚者，有的学生迫于教师必收作业的压力，盲目抄袭、对答案， 老师改后也不改错，形成数学作业“一多”、“二假”、“三无效”(学生解题和老师批 阅均为无效劳动)。
为了抵制学生重“结论”的学习倾向，彻底走出数学作业“一多”、“二假”、 “三无效”的误区？酝酿再三，我对学生提出了如下两条教学策略：
一是精选数学作业题，使学生脱离“题海”：在作业方面，我能减则减，以 学生通过精当的练习，实现教师所期望的发展为度，而且对于不同层次的学生我 还采取了分层作业，服从学生“解题技能”和“解题智能”的均衡发展的需要，实现 数学题“算法型”和“思辨型”的合理搭配。
二是建立“我能行”数学档案袋，弥补课堂教学的不足 在课堂教学中，由于时间有限，不可能每道题都由学生讲解、分析，这就少了很多给学生锻炼的机会。因而，课后我让学生精选自己认为的好题进行分析， 重点写出分析过程、解决这一问题时用到的知识、掌握的技能及最大收获等。通 过这一策略，强化学生对所学知识的复习，对所用技能、方法的巩固，是提升解 题能力的点睛之笔。
三、就“思”而言 解数学题决不能解一题丢一题，这样做无助于解题能力的提高。解题后的 反思是提高解题能力的一个重要途径。一道数学题经过一番艰辛，苦思冥想解出 答案之后，必须要认真进行解题反思：命题的意图是什么？考核我们哪些方面的 概念、知识和能力？验证解题结论是否正确合理，命题所提供的条件的应用是否 完备？求解论证过程是否判断有据，严密完善？本题有无其他解法——一题多 解？众多解法中哪一种最简捷？把本题的解法和结论进一步推广，能否得到更有 益的普遍性结论——举一反三，多题一解？但许多同学在完成作业方面，因为学 习态度和心理状态的不同，或者老师缺少必要的指导和训练，大部分都缺少这一 重要环节，未能形成良好的解题习惯，解题能力和思维品质未能在更深和更高层 次得到有效提高和升华。学习数学，也就只能登堂未能入室。
为了提高学生的解题能力，我经常倡导和训练学生进行有效的解题反思：
鼓励学生从解题方法、解题规律、解题策略等方面进行多角度、多侧面的总结。
想想以前有没有做过与原题内容或形式不同，但解法类似或相似的题目。如果将 题目的特殊条件一般化，能否推得更为普遍的结论，这样所获得的就不只是一道 题的解法，而是一组题、一类题的解法。
就拿以下一题来说，已知如图：ＡＢ和ＤＥ是直立在地面上的两根石柱， ＡＢ＝５cm，某一时刻ＡＢ在阳光下的投影ＢＣ＝３cm。⑴请在图中画出此时 ＤＥ在阳光下的投影；
⑵在测量ＡＢ的投影时，同时测出ＤＥ在阳光下的投影长 为６cm，请你计算ＤＥ的长。
D 这道题主要是利用相似三角形的知识解决实际问题， Ａ 说明数学知识来源于实际又服务于实际。在分析这一题时 ， 我先做好题前反思，预见学生在解题过程中可能出现的错 B C E 误，先让学生来判断这些做法是否正确，误区一：默认△ＡＢＣ∽△ＤＥ Ｆ；
误区二：默认∠Ａ＝∠Ｄ；
误区三：由ＡＢ∥ＤＥ推△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ。对学生可能出现的典型错误加以评述，让学生在解题中增强识别、改正错误的能 力。然后再让学生归纳、总结此题所用到的知识点，以及所用到的数学方法。再 进行延伸，是否做过同类型的题，学生很容易就想到测量树高等问题，进而引申 到如何测量树高，可有哪些方法？学生想到的比较多，利用物高与影长成比例或 是利用光学原理进行解决。由此学生所得到的就不止是一道题的解法，而是一组 题、一类题的解法。
长期下来，我培养学生善于总结、善于引伸、善于推广的数学解题能 力，学生的数学解题能力也在不同程度上得到了一定的提高，我所任教的两个班 级的数学成绩也都一直名列前茅。
除课堂上我积极倡导学生进行反思外，课堂外我曾经让学生建立学习档 案：将自己设定的学习目标，好的习题解法或学习方法，容易解错的习题，学习 失败的教训等放到档案袋内。我也曾让学生书写数学周记：把课堂上老师示范解 题反思的过程中学生自己想到，但未与教师交流的问题，作业中对某些习题不同 解法的探讨，学习情感、体验的感受，通过数学周记（或数学日记）的形式宣泄 出来，记录下来，使师生之间有了一个互相了解、交流的固定桥梁。
总之，学生解题能力的提高，不是一朝一夕能做到的，也不是仅靠教师的 潜移默化和学生的自觉行动就能做好的，需要教师根据教学实际，坚持有目的、 有计划地进行培养和训练。只有这样，才能其正把这一工作做好。此外，米卢先 生在中国倡导并实施的“快乐足球”，我想，如果能应用到数学教学中来，使培养 能力与快乐学数学有机结合起来，必将使学生的能力越来越强，教师越教越松， 家长越来越满意，社会越来越放心。