数学解题教学自主学习能力分析

数学解题教学自主学习能力分析

数学解题教学自主学习能力分析 高中数学教师要关注习题教学,并以此来提升学生的自主学习意识,发展 他们相应的数学能力. 一、自主学习视角下的数学解题 当我们在数学教学中实践新课程理念时,我们绝不能将习题练习归于题海 战术的范畴,学生在认识数学理论,理解并体会其思想内涵时,都必须借助习题 的分析和研究来获得相关效果.而且对学生的自主学习而言,解题还能为学生提 供一个相对具体的目标,让他们在阅读并理解的基础上,运用数学理论和方法, 通过采用正确的思维方式和科学推理,最终在问题解决的过程中加深对知识的理 解,同时还能为他们的数学学习积累宝贵的学习经验.波利亚非常看重数学解题 在学生学习过程中的作用,他也明确指出学生的解题应该分成以下四个步骤:(1) 审题题意;
(2)初拟方案;
(3)实施操作;
(4)回顾和总结.当我们引导学生 以自主学习的方式来进行学习时,要引导学生有效地进行自我监控.事实上,数 学学习应该是一个漫长而枯燥的过程,因此在自主学习中,我们要想学生能够长 久地延续自己的学习热情,自我监控就显得相当重要.一般来讲,自我监控可以 落实在以下几个方面:其一是对自己的学习计划有一个合理的部署,其二是能够 对自己的学习活动有一个明确的监察与管理机制;
其三是善于对自己的学习行为 进行控制和调整,重现体现学习过程的能动性.当我们将解题融入到学生的自主 学习过程中时,学生一方面需要将解题纳入自己的数学学习计划,另一方面学生 要根据自己在解题过程中的表现来实施监控和调整,以便让自己的自主学习更加 专注和高效. 二、通过数学解题来培养学生自主学习能力 学生通过解题,可以培养自己终身学习的基本意识,也能培养与之适配的 学习方法和基本手段,当然这一过程也离不开教师的引导和帮助.1.指导审题,培 养学生自主思考和反思的意识教学中,我们发现很多学生总是抱怨自己在解题时 摸不准思路,引发很多低级错误.其实细加推敲,我们发现发生这种情况的关键 还是学生在审题过程中出现了很多的问题,他们还没有掌握问题的诀窍和关键, 作为问题处理的第一道关卡,学生就没有处理好,自然也就无法顺利地到达探索 的重点.指导学生进行审题,我们的关键任务是让学生在接触问题的第一时间就 把握题目的含义,能够对题目的条件和所求设问有一个清晰而准确的把握.如果 一些条件或问题没有弄清楚,学生是很难解决问题的.例1已知定义在实数集上的函数f(x)满足了f(1)=2,f′(x)1,求解不等式f(x2)x2+1的解集.在本题的 解题过程中,部分能力稍弱的学生可能会搞不清楚这个函数的解析式,从而无从 下手;
能力稍强一点的学生发现条件中有导函数的介绍,为此准备对所求不等式 进行变形处理构建一个新的函数f(x2)-x2-1,通过求导来处理,可是这个方法 却无法将题目中的条件整合起来,这样问题的处理陷入僵局.对于上述问题,教 师要引导学生展开细致地分析和研究,要让学生专心地投入情境之中,并对题意 进行反复咀嚼,并且以这样的问题来推动自己的思考和反思:这个问题的条件有 哪些?这个问题的条件有什么用?通过这些条件,我能想到什么?我们能从条件 中得到什么?比如f′(x)1,很多学生认为要使用这个条件,就需要对函数f(x2) -x2-1求导,但是他们又很快发现如此操作并不能完成对问题的解决.思维灵活的 学生又开始想到,为什么不对f′(x)1进行变形处理呢?这样可以得到f′(x)-10, 这一小小的调整恰好将导函数中最关键的一个功能也发掘出来,即它所对应的原 函数(比如g(x)=f(x)-x)的单调性也就可以逐步明确下来,然后我们可以 利用单调性来完成对问题的处理.而函数单调性在不等式的处理中也是一个常规 而重要的方法,即只需要将不等式变换为f(x2)-x21,再联系到g(1)=1,这 也就是解不等式g(x2)=g(1),由于g(x)在实数集上是一个单调减函数,有 x21,因此本题所求解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).2.注重题组训练,让学生在 自主比较中提升认识高中数学为什么难?笔者认为,很多学生是在问题处理时没 有把握本质,导致他们最后的处理发生了偏差.所以,我们在教学过程中要善于 组织一些在本质上存在相似性,或形式上不同,但是可以归类为同一方法进行求 解,或问题之间具有延续性和关联性的问题等.这些问题就组成了一个题组,学 生通过比较,可以从似是而非的问题中发现区别,也可以从大相径庭的问题中发 现相似之处,这样的处理有助于学生对问题展开更加深度的分析和研究,这对学 生进行自主学习有着很大的启发性和引导性.例2①已知某定义在实数集上的函 数f(x)=lg(ax2+2x+1),请确定a的取值;
②已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1) 的值域为R,请确定a的取值.很多学生容易将上述两个提问混淆在一起,问题① 中使得ax2+2x+10恒成立,必须要让a0,且Δ0,可以得到a1;
问题②中必须要让 ax2+2x+1取遍一切正数,因此a=0或者要让a0,且Δ≥0,因此可以得到0≤a≤1.上述 问题的分析过程中,如果我们能够将对数函数、一次函数等函数的图像用于对问 题的表征,将更加有效地促进学生完成对问题的理解.通过上述实例,我们应该 鼓励学生自主思考这样一些问题:上述文字仅仅只是在文字表述上存在差别,但 是同一个问题吗?如果不是,它们的差别在哪里?它们的本质差别在什么地方? 是否还存在什么方法可以帮助我们形成更加深入的理解?为什么我没有准确把 握这个问题的本质题意?如果我们对基本概念的理解还不够透彻,这和哪些数学概念与方法存在关联呢?这些问题的分析和处理,有助于学生完成总结,获得更 大幅度的提升.3.重视学生的反思过程,让学生在总结中提升自主学习的能力在解 决每一个数学问题之后,教师要善于引导学生进行回顾和反思,不能将思维止步 于问题答案的得出,否则这将是一种学习资源的浪费,学生也很难从中获得进步 与发展.例3已知函数f(x)=2xax+b,f(1)=1,f12≤≤=23,令x1=12,xn+1=f(xn), 求数列{xn}的通项公式.学生在处理问题时很容易解得a=b=1,故xn+1=2xnxn+1. 然后就要用到转换的思想,本题需要构造等差数列和等比数列,因此可以将上述 式子转变成1xn+1=xn+12xn=12xn+12,也就有1xn+1-1=121xn-≤≤1,数列1xn-≤≤1 是一个等比数列,可以求得1xn-1=12n-1,所以有xn=11+12n-1.我们要指导学生对 上述问题展开反思,并从中进行深度的感悟与总结,学生将感悟到化归思想的重 要性.长此以往,学生展开分析和研究,他们将把这些方法和思想渗透在自主学 习的过程之中,这对学生自主学习能力的提升大有裨益. 三、解题教学对学生自主学习能力发展的意义 解题教学是学生整个数学学习体系中最重要的一环,这不但有助于他们对 知识的理解和认识,也对他们自学能力的提升大有意义.首先,对学生的个性发 展需要而言,他们需要通过一些习题进行磨炼,这样的处理可以让他们的思维更 加灵活,可以让他们以更加开阔的思路来参与问题的探索.因此可以说,解题教 学是学生自主学习能力提升过程中不可或缺的一环.其次,学生将在解题教学中 与问题发生更加亲密的接触,他们的自主学习能力也将因此而得到培养,他们的 学习会更加主动而热情,而且他们也将获取更加深刻的感悟和体验.解题教学还 将在一定程度上推动学生自主学习的进行,他们也将更进一步地参与到学习过程 之中,进而提升自己全方位的数学素养.总之,数学习题教学是一种学习过程, 也是一种实践过程,学生把自己所获得的数学知识和方法应用到习题的处理之中 来,是学生自主学习的主要内容,也是他们能力提升的重要手段.