数形结合思想在高中数学的作用
数形结合思想在高中数学的作用 摘要：数形结合作为一种重要的数学思想方法，将抽象的、复杂的数学问题具 体化、简单化，从而达到“以数解形”和“以形助数”的目的。在高中数学教育中渗 透数形结合思想，有利于培养学生的数学思想，拓宽学生解题思路，对于学生理 解和解决数学问题具有重要的意义。关键词：高中数学；
数形结合；
渗透途径 一、以形助数，抽象问题具体化 和抽象的数学语言相比，数学图形具有较强的直观性，对于一些解决方法 太过复杂的、运用代数方法难以解决的、数学问题非常抽象的代数问题，这时可 以利用数学结合思想将数转为形，然后利用图形的几何性质及几何意义来对问题 进行求解。这样可以有效锻炼学生的观察能力和思维能力，提高学生的解题效率。
例如，教师讲解“已知10a，关于x的方程xaax=log的实根有几个？”这一例题，首 先可以引导学生将上述方程转变为两个函数x)(axf=和xxgalog)(=，要求方程 xgxf=)()(实根个数，就是函数xf)(和xg)(图像交点的横坐标。图像交点的个数就是 实根的个数，为此，做出函数图像是关键。如图1所示，两个函数图像有两个交 点，为此，关于xgxf=)()(的实根个数有2个。根据上述例题可知，我们可以借助 数形结合思想来解决方程求解或函数交点个数的问题，让学生通过对图形的直观 观察，启发解题思路，帮助学生快速的解题[1]。
二、以数解形，图形问题代数化 图形虽然具有形象、直观等优势，但是不具备精确的数量关系和逻辑性。
当解决图形问题需要进行定量分析时，就需要借助数形结合的思想，通过仔细观 察图形中的几何性质和运动特点，用代数问题来表述图形问题，然后利用所学公 式或代数定理来求解问题。例如，讲解“设22)(2axxxf+=，当)(1≥axfx时，，求a 的取值范围？”这一例题时，教师可以首先引导学生对题目中的已知条件进行分 析，当)(1≥axfx时，有，即222+aaxx，令22)(g+=aaxxx2。则有当x≥1时函数xg)(图 像位于x轴上方。要保证不等式成立，分为两种情况：（1）当0)12(442a=时，a(∈ 1,2)；
（2）当a2≥=0)12(44且g0)1(时，a(∈1,3)。根据上述例题可知，当对图形中 某个参数进行定量分析时，我们无法利用图形来进行求解，而需要根据题目中所 给出的条件，进行全面的考虑，这样才能确保答案的正确性和完整性[2]。三、数形互变，提高解题能力 在求解数学问题过程中，“以数解形”和“以形助数”都有着其各自的奇特功 效，但不能完全的解决所有问题，有时在一个数学题目中可能同时需要结合这两 种方法，需要“以数解形”的逻辑性、精准性和严密性，也需要“以形助数”的直观 性。在解决此类问题时，需要对题目中的数、形及隐含条件进行认真的分析，通 过两者的运用，确保求解结果的准确性和全面性。数形互变的思想方法在高中数 学中应用非常广泛，常见于求函数的定义域、值域、最值问题；
解方程和解不等 式问题；
三角函数和复数问题中。例如，教师在讲解“已知x，y满足1251622=+yx， 求y-3x的最大值与最小值”这一题时。首先引导学生分析对于求解二元函数y-3x 在特定条件下1251622=+yx的最值问题，可以采用构建直线截距的方法。设y-3x=b， 则有：y=3x+b。那么原问题就可以转化为：在1251622=+yx求一点，使得过该点 的直线斜率为3，同时在y轴上的截距b最大或最小。根据已知条件，做出函数图 像，如图2所示。当椭圆曲线与直线相切时，有最大截距b1和最小截距b2。将直 线方程带入椭圆方程中有：04001696169125)3162222=++=++bbxxbxx（。由于相 切，有0)40016(1694)9622（bb=××=得到：b=±13，故y-3x的最大值与最小值分别 为13和-13。根据上述例题可知，求解此类题目应该从函数本身的形式入手，引 入直线的斜率，直线与椭圆相切时利用一元二次方程根的情况来确定参数值。运 用数形结合思想，不仅实现了抽象知识和形象知识有效转换，拓展了学生的解题 思路，同时也避免了复杂的数学计算及推理，大大简化了解题过程，对于学生数 学思维及数学成绩的提高具有积极的促进作用。
四、结语 总而言之，数形结合思想在高中数学教育中的渗透，将“数”与“形”二者之 间的变化、联系及运动巧妙的进行转化，将复杂的数学问题直观化与简单化，为 学生快速、有效的解答数学问题提供了极大便利，同时也促成学生养成多角度思 考问题及放射性思维的良好习惯。为此，教师应该灵活的运用数形结合思想，引 导学生在学习的过程中不断领悟并掌握这一重要思想，从而拓展学生的解决思路， 提高学生的数学思维及解题能力。