[竞赛题平方数解法与推广分析论文] 关于方程的解的论文

竞赛题平方数解法与推广分析论文

竞赛题平方数解法与推广分析论文 编者按:本文主要从选题依据;
研究目标与主要内容;
拟采取的研究方法、 研究手段及技术路线、实验方案等;
研究的整体方案与工作进度安排;
研究的预 期目标及主要特点;
指导教师意见:教研室或系审核意见几个方面进行论述。其 中,主要包括:数学的整个对象就是在原来似乎混沌占统治地位的地方创造秩序、 平方数,也叫完全平方数或正方形数、平方数的一些基本的性质、平方数的竞赛 题的解法与推广、寻找可能的取值、猜想要靠长期积累下来的对数学的直觉和经 验形成一种敏锐的洞察力和技巧、理论与实践研究法相结合、明确选题并完成文 献综述和外文资料翻译、完成开题报告并举行开题报告会、完成计算、实验和绘 图,并完成论文的引言部分、完成论文的初稿、指导教师阅读审看并修改,完成 终稿、论文答辩,学生材料上交教务科、教务科材料汇总整理上等。具体材料请 详见。

关键词:开题报告数学 一、选题依据(背景与意义、国内外研究现状与发展趋势) 在某种程度上,数学的整个对象就是在原来似乎混沌占统治地位的地方创 造秩序,从无序和混沌之中抽取出结构和不变量。所以,把无序的数字转化为有 序的模型,这才是数学家乃至所有数学爱好者所追求的。

平方数,也叫完全平方数或正方形数,是可以写成整数的二次方的数。它 是一种很“完美”的数,有关于它有许多很有序的规律,至今为止,已经有很多的 数学爱好者乐此不疲地去研究它,而且也得出了不少有趣而且有用的结论。至今 为止,平方数的一些基本的性质。例如,性质1:完全平方数的末位数只能是 0,1,4,5,6,9。性质2:奇数的平方的个位数字为奇数,十位数字为偶数。等等。

还有很多著名的数学家长久以来乐此不疲地研究平方数,也把它的有关知 识作为一种工具用于证明、计算其他定理、命题。例如,意大利著名的数学家 Lagrange,他在整数论上也有有关平方数的Lagrange定理:任何一个正整数都可 写成四个平方数之和。并且在证明中他运用了欧拉恒等式:若t 此类例子还有很多,在此不一一列举了。

本论文是对一道有关平方数的竞赛题的解法与推广,我的目标是从无序的题目中找出有序的、有规律的结果,从而体会数学的规律美。过程主要是猜想 ――计算机辅助验证――数学方法证明。

猜想在一般的观念里,似乎是具有一定的偶然性,但实际上,猜想要靠长 期积累下来的对数学的直觉和经验形成一种敏锐的洞察力和技巧。这是一个长期 的过程。

数学题不一定单纯地做出答案就行了,很多情况下还可以更深入地研究, 挖掘出它的背景,进行再推广、再发散。很多看似简单的数学题其背后的内容却 是十分丰富的,需要有心人去探讨研究,这样才能真正深刻的理解。有些计算量 相当大的数学题应用笔算和一般的计算器已经不能满足需求,这时我们要借助计 算机,利用程序设计来解。现在我就要解一道有关于平方数的竞赛题,由于计算 量相当的大,笔算和一般的计算器已经不能满足需求,所以我通过在 VisualBasic6.0环境下对算法进行分析和验证,验证结论的正确性。

那些最初表现为令人怀疑的东西,只有经过某种思维过程后,再通过起批 准和保证作用的证明,才能最K表现为无可置疑的真理。证明通过揭示事物的核 心而增强理解,是数学的力量。

二、研究目标与主要内容(含论文提纲) 研究目标:本论文主要研究型如平方数的结构,我们知道,,,,等关于 的结果是无序的,而对于,先关于n代入几个数,例如,,,,……,由此猜想:, 并且这个结果可以用数学归纳法证明,所以是有序的。再进一步可得,关于的输 出结果也是有序的。在竞赛数学中经常出现有关平方数的一些问题,因此系统研 究型如平方数,当取什么值时,其结果是有序的,既有理论价值又有应用价值。

论文提纲:首先,寻找可能的取值。当n取比较小的值时,可以采用笔算 的方法来计算结果、找寻规律,但当n取比较大的值时,发现计算量相当大,用 笔算和一般的计算器已经远远不能满足需求,这时就会想到借助计算机辅助计算, 利用程序设计来解。我采用的是VisualBasic(简称VB)这种常见的程序设计语 言。一种语言就是一种思想。经过计算发现当取任意正整数,而时,都可以产生 有序的结果。

找规律:当时,;

当时,;
当时,;

当时,;

当时,;

当时,;

当时,;

当时,;

当时,…… 由此可猜想得出:的一个有序的结果。同样道理,、也可得出有序的结果, 也可发现、、、、的结果没有一定的规律可寻。猜想在一般的观念里,似乎是具 有一定的偶然性,但实际上,猜想要靠长期积累下来的对数学的直觉和经验形成 一种敏锐的洞察力和技巧。这是一个长期的过程。

然后,利用计算机辅助计算验证预期结果对某些初值的正确性。

最后,利用数学方法给出严谨的论证,而我所采用的论证方法是简单易懂 的数学归纳法。

三、拟采取的研究方法、研究手段及技术路线、实验方案等 利用文献研究法与理论研究法,通过图书馆、书店、网络等途径对平方数 相关各方面的资料进行查阅、研究、归纳、总结。理论与实践研究法相结合。先 是通过对一些简单的n值进行观察,再用笔算和计算器进行初步计算,根据已得 的结果,推广到极大的n值,进行理论上的猜想,然后运用计算机辅助 (VisualBasic)这种常见的程序设计语言计算验证,最后证明猜想的结果。

四、研究的整体方案与工作进度安排(内容、步骤、时间) 进度安排:
序号时间内容112.1-2.14明确选题并完成文献综述和外文资料翻译 22.14-2.28完成开题报告并举行开题报告会 33.1-3.20完成计算、实验和绘图,并完成论文的引言部分 43.20-3.30完成论文的初稿 53.30-4.20指导教师阅读审看并修改,完成终稿 64.20-4.30论文答辩,学生材料上交教务科 75.1-5.15教务科材料汇总整理上 五、研究的预期目标及主要特点 预期目标:在某种程度上,数学的整个对象就是在原来似乎混沌占统治地 位的地方创造秩序,从无序和混沌之中抽取出结构和不变量。所以,把无序的数 字转化为有序的模型,这才是数学家乃至所有数学爱好者所追求的。本论文就是 研究一种平方数,从一种无序的结果转化为有序的、有规律的结果。

主要特点:进行大胆的猜想,运用计算机辅助计算帮助验证结果,得出的 结论很有规律性。

六、指导教师意见:
指导教师签名:
年月日 七、教研室或系审核意见: